Bonjour, j'essaie de déterminer la nature de la série de terme général
C'est une série alternée mais on ne peut pas lui appliquer le critère spécial...
C'est le seul moyen que je connais pour étudier des séries alternées
Si quelqu'un pouvait me donner une piste, merci !
Bonsoir,
Une petite transformation d'Abel torche la question :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties
en utilisant le critère d'abel tu as:
bn=cos(racn)/n et an=(-1)^n
-1<=an<=1 et (bn) décroit, tend vers 0 et bn>=0
donc la série converge
369, ta sérien'est pas alternée. Elle n'est pas décroissante (même en module) et n'est pas positive.
Dernière modification par Tiky ; 10/07/2011 à 21h07.
Je prends les notations de Wikipédia.
Je pose
On a avec l'inégalité des accroissements finis :
La série
On a
La dernière série est absolument convergente. En effet
Finalement
MerciEnvoyé par Tiky
Je prends les notations de Wikipédia.
Je pose
On a avec l'inégalité des accroissements finis :
La série
On a
La dernière série est absolument convergente. En effet
Finalement
Effectivement ce n'était même pas une série alternée, et je n'avais pas pensé à faire une transformation d'Abel...
Tu peux aussi regarder la série
pourtant quand je fais le tracé de (bn) elle décroit et elle est positive
Cette fois-ci, la somme partielle des Bn n'est pas bornée...Tu peux aussi regarder la sérieEnfin on peut essayer de prendre bn = cos (sqrt(n))
J'arrive pas à voir si elle converge ou non...je pense pas.
ne tenez pas compte de mon message précédent désolé
comment as tu fais tiky pour trouver:
je ne vois pas d'où viens le n^(3/2)
J'ai utilisé l'inégalité des accroissements finis sur la fonction suivante :
La dérivée est
Or
Donc
Pour la série
Petit précision
On peut peut-être sommer par paquets ?
J'ai essayé comme ça mais sans résultat. J'ai une erreur dans ma démonstration :/. Toutefois j'ai la conviction que la série converge.
En fait si je parviens à montrer que
En utilisant la conjecture précédente, on applique la transformation d'Abel avec
On a
Donc
Or
Il me semble qu'en sommant par paquets, on arrive à une borne du type :
borne qualitative qui de plus est optimale. Cependant, la démonstration que j'ai est relativement compliquée, et il ne serait pas étonnant qu'un erreur s'y soit glissée. Je la rédigerai proprement ce soir, quand j'en aurai le temps. L'idée de base est cependant très simple : estimer la différence entre la moyenne de la fonction cosinus sur un intervalle
De plus, la méthode marche pour une classe de fonctions plus générale (fonctions lipschitziennes de moyenne nulle sur le cercle, voire fonctions höldériennes de moyenne nulle si on peut se satisfaire d'un moins bon terme d'erreur), et doit pouvoir s'adapter à des fonctions plus générales que la fonction racine carrée.
Et donc, la preuve en question. Les erreurs sont probables.
Proposition
Soit
~~~~~
Démonstration
Soit
Remarquons pour commencer que, pour tout entier
Par conséquent, on a aussi les bornes suivantes sur
Maintenant, on va approximer l'intégrale de f par une somme de Riemann. Pour commencer, remarquons que :
De plus, on dispose aussi de la borne suivante :
On calcule ensuite :
On a donc :
Au final, on obtient :
En d'autres termes, pour tout
De plus, la somme totale des
~~~~~
Dans le cas qui nous intéresse, on a
Bonjour,
Effectivement la démonstration est très technique. J'ai plusieurs points que je ne comprends pas par ailleurs.
1. Je ne comprends pas l'inégalité sur.
2. Je ne vois pas comment tu passes de
3. Tu dis que
J'ai compris pour l'intégrale.
Donc il reste les points 1 et 2 à éclaircir.
Point 1 : en fait, c'est l'inverse. Les
Point 3 : c'est une authentique gaffe de ma part. Cependant, elle n'est pas rédhibitoire. Si
ce qui au final permet d'obtenir exactement la même majoration :
