problème série alternée

[invite67f41ab0]

Bonjour à tous voici le dernier exercice de ma feuille de td sur les séries numériques sur lequel je bloque (je dois étudier sa convergence ou sa divergence):
sin(pi((1/n)+n))
La série tend bien vers 0 , je ne peux rien dire
je la mets sous la forme de série alternée pour sin(pi(1/n)) car sin*pi=0
donc
sin(pi(1/n))=(-1)ⁿ*(pi/n)²ⁿ⁺¹*(1/(2n+1)!)

j'essaie pour absolument convergent puis d'alembert

je trouve : (pi/n2)² je ne peux rien dire car pas tout le temps <1

maintenant critère d'abel (sans critère d'absolument convergence)

le terme (pi/n)²ⁿ⁺¹*(1/(2n+1)!) est-il absolument décroissant je ne sais pas... si oui je c'est réussi (je pense que le dénominateur tend plus vite mais je ne sais pas le démontrer)

Avec mes remerciements
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[invitea3eb043e]

sin(n.pi + pi/n) = (-1)^n sin(pi/n)
Série alternée dont le module terme général est positif, décroit et tend vers zéro : le théorème s'applique et ça converge.

[invite67f41ab0]

Bonjour à tous voici le dernier exercice de ma feuille de td sur les séries numériques sur lequel je bloque (je dois étudier sa convergence ou sa divergence):
sin(pi((1/n)+n))
La série tend bien vers 0 , je ne peux rien dire
je la mets sous la forme de série alternée pour sin(pi(1/n)) car sin*pi=0
donc
sin(pi(1/n))=(-1)ⁿ*(pi/n)²ⁿ⁺¹*(1/(2n+1)!)

j'essaie pour absolument convergent puis d'alembert

je trouve : (pi/n2)² je ne peux rien dire car pas tout le temps <1

maintenant critère d'abel (sans critère d'absolument convergence)

le terme (pi/n)²ⁿ⁺¹*(1/(2n+1)!) est-il absolument décroissant je ne sais pas... si oui je c'est réussi (je pense que le dénominateur tend plus vite mais je ne sais pas le démontrer)

Avec mes remerciements

Le problème est résolu : j'ai eu l'idée de mettre sous forme exponentielle puis 2n+1 en facteur comme suit

e^{log(pi2n+1-log(n)2n+1-log((2n+1)!)}qui est égal à e^{(2n+1)(log(pi)-log(n))-log((2n+1)!)}

donc strictement décroissant série convergente d'après le critère d'abel

[invite67f41ab0]

sin(n.pi + pi/n) = (-1)^n sin(pi/n)
Série alternée dont le module terme général est positif, décroit et tend vers zéro : le théorème s'applique et ça converge.

désolé je n'avais pas vu ta réponse, (période 2pi pour sinus ici je vais de pi à 0)
à pi je suis à une demi-période quand je vais de pi/2 à 0 ça croit puis de pi à pi/2 puis décroit
je suis même étonné d'avoir trouvé que c'est décroissant strictement

[A voir en vidéo sur Futura]