fonction diagonalisable

[inviteb9ba791d]

Bonjour
J'ai passé un oral il y a une dizaine jours, et j'ai voulu le reprendre tout à l'heure à tête reposée, sans succès.

On considère la fonction f de Mn(C) dans Mn(C) qui à M associe -M+tr(M)*I , avec I la matrice identité.
trouver les éléments propres et f est-elle diagonalisable ?

On cherche les M de Mn(C) telles que il existe non nul tel que f(M)=M. On arrive immédiatement à l'ensemble des M telles que , avec dans C\{-1}.
alors là je me rappelle plus bien, je sais qu'il y a une histoire de dimension 1 du sous espace propre comme M est proportionnel à I.... ?

on peut aussi montrer que f(I)=(n-1)I donc I est vecteur propre associé à la valeur propre n-1

et on peut s'intéresser aux vecteurs propres associés à -1 : les N de Mn(C) telles que f(N)=-1*N. On arrive à tr(N)=0.
tr est une forme linéaire donc dim(Ker(tr))=n²-1 et on applique le théorème du rang. mais je ne sais plus à quoi cela nous sert...

voilà tout ce dont je me rappelle, mais c'est complètement décousu et je m'embrouille complètement donc j'aimerais que quelqu'un m'éclaire!

Merci
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[GrisBleu]

Salut

J'essaie de mon cote. je note e[i,j] l'element de matrice non nul sur la ligne i et la colonne j
1) i different de j: f(e[i,j]) = -e[i,j] Ca fait N(N-1) vecteurs propres associés à -1
2) i = j: f(e[i,i]) = I - e[i,i]. Donc f(e[i,i] - e[k,k]) = - (e[i,i] - e[k,k]) Ca fait N-1 vecteurs associés à -1 (les e[1,1] - e[i,i], tous les autres s'en deduisent)
3) f(I) = (n-1)I Ca fait un vecteur associé à 1

Donc ca me semble diagonalisable

Ps: etantpas mal rouille, j'ai peut etre rate un truc

[inviteb9ba791d]

Oula j'avais complètement oublié ce sujet!
Merci pour la réponse Grisbleu je n'aurais jamais pensé à ça...

Même si la méthode de Grisbleu est bonne à mon sens aussi, je viens de replancher dessus et quelque chose m'échappe je crois
quelqu'un aurait une idée pour la méthode que j'avais entamée?

Merci