bonjour, voici un exo ou je n'arrive pas a avancer :
soit Pn une matrice n x n (avec n > 1)
où chaque case est egale a 1.
1/ montrer que 0 est valeur propre + dimension du sous espace propre associé?
2/ mq n est egalement vp
3/deduire le polynome caract.Mq Pn est diagonalisable.
4/determiner sans calcul les vp de Pn-Id, Mq Pn-Id est inversible et diagonalisable.
5/Mq Pn²=nPn*. mq Pn est diagonalisable a nouveau.
Quel est le rang de la matrice ?Envoyé par cranberry
Quelle est la dimension du noyau ?
Salut, montre-nous ce que tu as fait.
en échelonnant Pn, je trouve rg(Pn) = 1
par le theoreme du rang dim Ker = n-1 ?
je voyais pas trop par ou passer, alors jai calculé le polynome caract par recurrence,
P(X) = (-1)^(n+1) * X^(n-1) * (n-X)
sinon j essaie de montrer que Pn annule un tel polynome mais sans vain
Pour le déterminant det(Pn-XI), fais la somme de toutes les colonnes sur la première, tu vas voir une régularité(pour éviter la récurrence disons).
La matrice est de rang 1 donc 0 est valeur propore de multiplicité géomètrique n-1.
Or la trace du matrice est egale à la somme de ces valeurs propres.
On a n-1 valeurs propres. Cherchons la n ième: si elle est aussi égale à 0, la matrice n'est pas diagonalisable car dans ce cas la la multiplicité algébrique de 0 serait n alors que sa multiplicité géomètrique est n-1.
Appelons L cette valeur propore.
Tr(A)=n
mais on sait aussi que c'est la somme des valeurs propres.
d'ou n=tr(A)=(n-1) * 0 +L <=> L=n.
n est valeur propre.
Or n est different de 0 donc il existe un vecteur propre associé à la valeur propre n. Notons le X.
Alors en prenant un base de Ker A et en ajoutant a cette base le vecteur x. On obtient un base de diagonalisation de A.
(n-X)(n-1-X)....(1-X)(-X) ?
OUI
Cela te donne une valeur propre, et la dimension de l'espace propre associé.
La trace te fournit une indication supplémentaire sur les valeurs propres.
Quand tu connais les valeurs propres, avec leurs ordres de multiplicité :
- quel est le polynôme caractéristique (sans déterminant) ?
- quel est le polynôme scindé à racines simples dont l'annulation assure la diagonalisabilité ?
comment as tu deduit directement la multiplicité géométrique grace a la dim(Ker) ?0 est valeur propore de multiplicité géomètrique n-1
et pourquoi a -t-on n valeurs propres ?!
Le noyau, de dimension n-1 des l'espace propre associé à la valeur propre 0, et la trace vaut n.
La seule possibilité est d'avoir
- 0 valeur propre de multiplicité n-1
- n valeur propre simple
si tu veux bien te donner la peine d'y réfléchir un instant.
La mutliplicité géomètrique d'une valeur propre est la dimension de l'espace propre.La multiplicité algèbrique c'est la multiplicté de la valeur propre dans le polynome caractèristique.
On a forcement si on note Multiplicité Géomètrique : mg et multiplicité algèbrique ma
et égalité dans le cas ou c'est diagonalisable.
De plus on a la somme des multiplicité alebrique des valeurs propres qui vaut n. C'est les racines du polynome caracteristique(Je considere ici un polynome car scindé).
ICi on a une multiplicité géomètrique pour 0 qui vaut (n-1) (C la dimension de ker u).
Or la somme des multiplicité algebrique doit valoir n.
Donc soit ma (0)=n et dans ce cas la, la matrice n est pas diagonalisable car ma(0)>mg(0).
Soit il existe donc une autre valeur propre et donc la matrice est diagonalisable.
Or comme je l'ai deja di la trace nous donne la somme des valeurs propres. ici, la trace vaut n donc la derniere valeur propre est n.
Et donc la matrice est diago.
Salut,
on peut aussi mettre la matrice au carrée et voir apparaître un polynôme annulateur
