Nombre chromatique d'un espace topologique

[Ndrdmv]

Bonjour,
Je me suis dit que, d'un façon analogue à celle des graphes pour lesquels on a une notion de connexité, on pourrait définir la notion de nombre chromatique pour un espace topologique.

Ma définition est la suivante : le nombre chromatique de est la valeur minimale que peut prendre le cardinal d'une partition de en parties totalement discontinues. (Ce peut donc être un entier naturel ou un cardinal infini).

Mes questions sont les suivantes :
- Existe-t-il déjà une telle notion, ou quelque chose de ressemblant ?
- Quel est le nombre chromatique de ?

Pour la deuxième question, j'ai déjà quelques résultats :
- Le nombre chromatique de est : il suffit de prendre une partition formée de deux parties denses, par exemple et son complémentaire.
-Le nombre chromatique de est inférieur ou égal à ; en effet, si on considère et deux parties denses complémentaires de , alors la partition formée des parties de la forme convient. Je conjecture que le nombre chromatique de est précisément , mais je ne vois pas du tout comment faire la minoration. Auriez-vous des idées ?
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[invite986312212]

j'ai l'impression que pour R^n ça reste 2 : Q^n est totalement discontinu et son complémentaire aussi.

[Garf]

j'ai l'impression que pour R^n ça reste 2 : Q^n est totalement discontinu et son complémentaire aussi.

Non. Regarde d'un peu plus près le complémentaire...

Ceci dit, je soupçonne que ça reste effectivement 2. J'ai le sentiment que la notion est trop faible pour capturer la dimension (Hausdorff, variété...) d'un espace topologique, et on doit pouvoir construire des partitions particulièrement gratinées qui permettent d'arriver à ce résultat (éventuellement via AC ?). Mais ce n'est rien de plus qu'un sentiment.

[Ndrdmv]

Non, si je ne me trompe pas, est même connexe par arcs. En effet, avec des arcs par morceaux parallèles aux axes de coordonnées, on arrive à relier tout élément de cet ensemble à tout élément de (il suffit de toujours garder une coordonnée irrationnelle).

Au départ, je croyais moi aussi que c'était , mais dans le cas de j'ai testé plusieurs partitions, dont aucune n'a fonctionné.

D'ailleurs, il semblerait que pour , toute partie totalement discontinue de ait un complémentaire connexe : j'ai réussi à montrer qu'une condition suffisante pour que cela soit vrai était la propriété suivante :

"Pour tout ouvert de , tel que le complémentaire de soit égal à l'adhérence d'un ouvert non vide, la frontière de possède une composante connexe non triviale."

Je n'arrive pas à montrer cette dernière proposition, mais elle paraît visuellement claire. Si on arrivait à la montrer, ceci prouverait que le nombre chromatique de est strictement supérieur à .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Garf]

Oui, ressemble à un terrain de jeu de Bomberman, donc est connexe par arcs.

Au passage, il me semble que pour , on peut se satisfaire d'une partition en morceaux. Je pose :
,
et pour :
,
où et .

Par exemple, pour , les trois morceaux sont :
(des "sommets de cubes")
(des "arêtes de cubes")
(des "intérieurs de cubes")

[invite986312212]

ah oui, j'ai dû confondre "totalement discontinu" et "d'intérieur vide"... va falloir que je révise moi

[invite986312212]

j'ai une vague idée de contre-exemple à la conjecture de Ndrdmv : dans R^2, ou plus précisément dans le carré [0,1]x[0,1], prendre la courbe de Peano et partitionner son image (donc le carré) en trois sous-ensembles :
1) les points d'auto-intersection
2) les points images de rationnels (et n'appartenant pas à 1)
3) les points images de non rationnels (n'appartenant pas à 1).

pour montrer que c'est un contre-exemple, il y a deux parties:
- la partie facile, je sais le faire, c'est montrer que 3 < 2^2
- la partie difficile est de montrer que chaque sous-ensemble est totalement discontinu...

[Garf]

Pour une partition de en trois sous-ensembles vérifiant les hypothèses demandées, ainsi qu'une généralisation, voir mon précédent message.

[invite986312212]

dans ton exemple V1 contient la droite d'ordonnée pi, qui est connexe par arcs.

[Garf]

dans ton exemple V1 contient la droite d'ordonnée pi, qui est connexe par arcs.

Non. Depuis quand est-il rationnel ?

[Arkhnor]

Bonjour.

Tes parties V1 et V2 ne sont pas totalement discontinues, qui je le rappelle, signifie que les composantes connexes sont les singletons. (tes parties contiennent des segments non triviaux, ce qui tue complètement le caractère totalement discontinu ...)

[invite986312212]

Non. Depuis quand est-il rationnel ?

ah ben oui, décidément...

[Garf]

Quels segments non triviaux ? Je peux tout à fait avoir fait une erreur, mais j'aimerais bien qu'on me la montre...

[Arkhnor]

Désolé, j'ai dit une bêtise ...

[invite986312212]

en posant V3=V0 U V2, est-ce que {V1,V3} n'est pas une partition de R^2 en deux parties totalement discontinues?

[Garf]

Non : la partie ainsi obtenue contient des droites diagonales (mais je n'exclue pas qu'on puisse modifier cet exemple pour en obtenir un avec lequel cette astuce fonctionne).

[Universus]

Juste afin de mettre ça sur «le papier», en rapport à l'exemple de Garf :

Si un sous-ensembles de V_i est connexe, alors il l'est aussi comme sous-ensembles du carré. On projette ce sous-ensemble sur le premier intervalle ; par continuité de la projection l'image doit être connexe aussi. Or les images des projections de V0 et V2 sont les rationnels et irrationnels respectivement, qui sont totalement discontinus. Donc seules les images inverses de points de I peuvent-être connexes. On répète cet argument en projetant successivement sur les autres I et on obtient que seuls les points de V0 et V2 sont connexes.

Pour V1, l'analyse est moins aisée... Mais voilà un pas en avant. On pose et . Alors .

Nous avons et qui sont totalement discontinus. Les seuls ensembles connexes des sont ceux de la forme pour . C'est tout au plus (a,b). Chaque est alors totalement discontinu, séparément.

Si vous voyez une erreur, faites-le moi savoir!

[Garf]

Si on applique une rotation de et une homothétie de rapport à , on obtient une partie de , non ? Malheureusement, c'est typiquement le genre de manipulation qui ne se généralise pas aux dimensions supérieures...

[Universus]

Tout à fait, c'était trop simple pour que je le vois! Merci bien. Ça semble effectivement ne pas se généraliser facilement...