développement et factorisation de P
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 3 sur 3

développement et factorisation de P



  1. #1
    invite776a26e4

    développement et factorisation de P


    ------

    Bonjour Pourriez vous m'aider svp?

    on a P(X)=(X+i)2n+1 - (X-i)2n+1
    1)Montrer que l'ensemble des racines de P dans C est: {cotan(k*pi[)/(2n+1),k=1,...,2n}
    Pour ce faire on résoudra l'équation
    (z+i/z-i)2n+1 =1

    J'ai posé Z=(z+i/z-i) puis j'ai égalisé modules et arguments pour ensuite trouver les 2n+1 complexes Zk = e(2i*k*pi/2n+1)
    pour k=0,1,...,2n
    Mais après je n'arrive pas à trouver les z.

    2)En utilisant la formule du binôme, développer P et montrer qu'il peut s'écrire sous la forme:
    2i*somme(de l=0 à n) de (2l parmi 2n+1)(-1)n-l X2l
    Déterminer alors le degré de P.

    Là je n'y arrive pas du tout

    3) En écrivant P sous la forme P(X)=somme(de j=0 à p) de aj Xj , que valent les coefficients ap , ap-1 , ap-2 et a0 ?
    On exprimera ces coefficients en fonction de n.

    Merci d'avance à tous pour votre aide

    -----

  2. #2
    g_h

    Re : développement et factorisation de P

    Salut,

    Citation Envoyé par ptitesoso
    Bonjour Pourriez vous m'aider svp?

    on a P(X)=(X+i)2n+1 - (X-i)2n+1
    1)Montrer que l'ensemble des racines de P dans C est: {cotan(k*pi[)/(2n+1),k=1,...,2n}
    Pour ce faire on résoudra l'équation
    (z+i/z-i)2n+1 =1

    J'ai posé Z=(z+i/z-i) puis j'ai égalisé modules et arguments pour ensuite trouver les 2n+1 complexes Zk = e(2i*k*pi/2n+1)
    pour k=0,1,...,2n
    Mais après je n'arrive pas à trouver les z.
    Tu as à résoudre :
    avec z différent de i, ce qui n'est pas gênant si tu développes le calcul montrant que X=i n'est pas solution de P(X) = 0

    Comme tu l'as bien fait, tu dois rechercher les z tels que ait pour valeur les racines "2n+1-ièmes" de l'unité.

    Tu écris donc :

    Soit :
    En factorisant :
    attention : k différent de 0 !

    Ensuite tu dois faire une petite factorisation avec tes exponentielles, ensuite tu devras te souvenir de l'écriture complexe du sinus et du cosinus (avec les exponentielles)
    Et tu devras pour finir t'assurer que k=0 ne donne pas de solutions.

    (PS : je trouve comme l'énoncé, c'est déjà ça )

  3. #3
    g_h

    Re : développement et factorisation de P

    Pour le 2, écris le binôme de Newton pour tes 2 membres, et fais-en une seule somme, dans laquelle tu factoriseras par (ou , selon comment tu as écrit le binôme)
    Puis regarde les valeurs que prend selon les valeurs de k, tu devrais pouvoir arriver facilement au résultat.

Discussions similaires

  1. Factorisation
    Par invitebacf5408 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 11
    Dernier message: 24/10/2007, 12h49
  2. factorisation
    Par invited038525a dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 5
    Dernier message: 13/10/2007, 16h26
  3. factorisation
    Par invite45c04c3c dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 05/01/2006, 00h31
  4. Factorisation LU
    Par Nico G. dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 12
    Dernier message: 16/05/2005, 20h34
  5. confirmation sur la factorisation et dévéloppement
    Par invitefe4b8556 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 30/10/2004, 11h56