développement et factorisation de P

[invite776a26e4]

Bonjour Pourriez vous m'aider svp?

on a P(X)=(X+i)²ⁿ⁺¹ - (X-i)²ⁿ⁺¹
1)Montrer que l'ensemble des racines de P dans C est: {cotan(k*pi[)/(2n+1),k=1,...,2n}
Pour ce faire on résoudra l'équation
(z+i/z-i)²ⁿ⁺¹ =1

J'ai posé Z=(z+i/z-i) puis j'ai égalisé modules et arguments pour ensuite trouver les 2n+1 complexes Z_k = e^{(2i*k*pi/2n+1)}
pour k=0,1,...,2n
Mais après je n'arrive pas à trouver les z.

2)En utilisant la formule du binôme, développer P et montrer qu'il peut s'écrire sous la forme:
2i*somme(de l=0 à n) de (2l parmi 2n+1)(-1)^n-l X^2l
Déterminer alors le degré de P.

Là je n'y arrive pas du tout

3) En écrivant P sous la forme P(X)=somme(de j=0 à p) de a_j X^j , que valent les coefficients a_p , a_p-1 , a_p-2 et a₀ ?
On exprimera ces coefficients en fonction de n.

Merci d'avance à tous pour votre aide
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[invite97a92052]

Salut,

Bonjour Pourriez vous m'aider svp?

on a P(X)=(X+i)²ⁿ⁺¹ - (X-i)²ⁿ⁺¹
1)Montrer que l'ensemble des racines de P dans C est: {cotan(k*pi[)/(2n+1),k=1,...,2n}
Pour ce faire on résoudra l'équation
(z+i/z-i)²ⁿ⁺¹ =1

J'ai posé Z=(z+i/z-i) puis j'ai égalisé modules et arguments pour ensuite trouver les 2n+1 complexes Z_k = e^{(2i*k*pi/2n+1)}
pour k=0,1,...,2n
Mais après je n'arrive pas à trouver les z.

Tu as à résoudre :
avec z différent de i, ce qui n'est pas gênant si tu développes le calcul montrant que X=i n'est pas solution de P(X) = 0

Comme tu l'as bien fait, tu dois rechercher les z tels que ait pour valeur les racines "2n+1-ièmes" de l'unité.

Tu écris donc :

Soit :
En factorisant :
attention : k différent de 0 !

Ensuite tu dois faire une petite factorisation avec tes exponentielles, ensuite tu devras te souvenir de l'écriture complexe du sinus et du cosinus (avec les exponentielles)
Et tu devras pour finir t'assurer que k=0 ne donne pas de solutions.

(PS : je trouve comme l'énoncé, c'est déjà ça )

[invite97a92052]

Pour le 2, écris le binôme de Newton pour tes 2 membres, et fais-en une seule somme, dans laquelle tu factoriseras par (ou , selon comment tu as écrit le binôme)
Puis regarde les valeurs que prend selon les valeurs de k, tu devrais pouvoir arriver facilement au résultat.