Compactifié de Stone-Cech de IR

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai lu quelque part que le compactifié de Stone-Cech de était .

Pourtant cette affirmation me semble fausse : la fonction cosinus de vers est bien continue mais n'admet de prolongement par continuité sur , puisque et .

Est-ce que je me trompe ?

Merci d'avance,
Seirios
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[Elie520]

Bonjour,
Je ne vois pas pourquoi votre affirmation serait fausse (je me trompe peut être !)
En effet, l'argument utilisé étant celui de la caractérisation séquentielle de la limite. Elle soulève le point suivant dans notre cas : "quelle valeur attribuer à cos(x) pour ?"

On voit donc que cos n'est pas prolongeable par continuité dans IR barre.

[Seirios]

J'espérais trouver que était un espace connu, mais si l'on regarde du côté de son cardinal, on voit que ce n'est pas le cas :

D'après ce livre, on peut caractériser le compactifié comme le compactifié tel que toute fonction continue, bornée et à valeurs réelles sur X admette un prolongement par continuité sur . Comme est "C*-embedded" (je ne connais pas le terme français) dans , on peut alors montrer assez facilement que peut être identifié à l'adhérence de dans . Or on construit comme l'ensemble des ultrafiltres sur , donc . Par conséquent, (j'ai vu que l'on pouvait même montrer l'égalité).