calcul d'une série

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour calculer la série suivante:




j'ai remarqué que ca ressemblait à la série de l'exponentielle avec x=1 mais comment faire avec le 3n!

merci de votre aide
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[invitec317278e]

Salut,

Ecris la série exponentielle avec 1, avec j, et avec j²...somme tout, regarde ce que ça donne...

[invite9617f995]

Salut,

Je pense qu'il doit y avoir un moyen de faire quelque chose avec j, la racine 3-ème de l'unité. C'est surtout ces trois propriétés qui pourraient être utile :
1) pour tout n naturel : j³ⁿ=1, j³ⁿ⁺¹=j, j³ⁿ⁺²=j²
2) j²=j* (conjugué de j)
3) 1+j+j²=0

Ensuite, je pense qu'utiliser ces propriétés, l'exponentielle et un peu de bidouillage algébrique devrait permettre d'isoler le terme que tu veux.

J'essaye de faire le calcul et je reviens pour dire ce que ça donne

Silk

Edit : je me suis fait grillé par Thorin, et la méthode fonctionne tout joliment. Doit y avoir moyen de généraliser ça, non ?
Du genre la somme des exponentielles des racine p-ième divisée par p qui donne la série 1/(pn)! ?

[invitec317278e]

Une autre méthode :

soit


f est alors solution du problème de cauchy




On résout, on trouve la solution unique, on évalue en 1.
On remarque que dans la résolution, j intervient encore (racine de l'éq caractéristique)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

il y a quelque chose que je n'ai pas compris:
pourquoi utilise-t-on j je n'ai pas de complexes?

et si je remplace 3n par 4n ou 5n est ce que j'utiliserais encore les complexes?

[invitec317278e]

Pourquoi utiliser j ? Parce que ça marche.

[invite371ae0af]

mais je ne vois pas pourquoi il faut prendre j

j=exp(i2pi/3) et quel est le rapport avec la série de l'exponentielle?
exp(x)=1+x²/2.....

[invite371ae0af]

je n'ai rien dis je viens de comprendre ce qu'il faut faire

[invite371ae0af]

j'ai écris la série avec 1,j et j²
mais après que voulez vous dire par somme tout?
ca veut dire faire
e+e^(j)+e^(j²)=
mais là je n'avance plus puisque je ne peux pas calculer la somme et je ne retrouve pas celle de départ avec (3n)!?

[invite9617f995]

Tout d'abord, sépare la série de l'exponentielle en trois séries correspondant aux x³ⁿ, x³ⁿ⁺¹ et x³ⁿ⁺².

Ensuite exprime e, e^j et e^j², notamment en utilisant la propriété que j'ai appelée 1) dans mon premier message. Garde toujours séparé des trois séries différentes.

Enfin somme les trois et utilise la propriété que j'ai appelé 3) pour simplifier ta formule.

Silk

[invite9617f995]

Edit : désolé pour ce double post, il s'agit d'une erreur de manip

[invite371ae0af]

Ensuite exprime e, ej et ej², notamment en utilisant la propriété que j'ai appelée 1) dans mon premier message. Garde toujours séparé des trois séries différentes.

Enfin somme les trois et utilise la propriété que j'ai appelé 3) pour simplifier ta formule.

c'est ce que j'ai fais dans mon message précédent non?

[invite9617f995]

Pars de :

A partir de ça exprime e, e^j et e^j² en fonction des trois sommes , et .

Puis somme les trois.

Silk

[invite371ae0af]

finalement j'ai trouvé que la série était égale à:


mais si ca avait était imaginons
(5n)! au lieu de (3n)! j'aurais décomposé la série de l'exponentielle comment? parce que je n'ai pas compris pourquoi vous avez écris la série de l'exponentielle sous cette forme pour (3n!)?

[albanxiii]

Bonjour,

Une petite précision de vocabulaire, histoire de ne pas se faire coller à l'oral.... On dit "calculer la somme d'une série" et "j'ai trouvé que la somme de la série est égèle à ..."

finalement j'ai trouvé que la série était égale à:

Le terme général de votre série étant visiblement réel, la somme l'est aussi. Vous devez pouvoir simplifier ce que vous avez trouvé là pour le vérifier....

[invite371ae0af]

merci pour la précision, je veux toujours écrire vite
mais pourquoi doit-on commencer par ceci:


comment aurait on fait si ca avait été (4n)! ou (5n)!

[invite9617f995]

L'idée c'était de faire apparaître la somme qui t'intéressait : il fallait donc passer de la série 1/k! à la série des 1/(3n)!, un moyen est alors de remarquer que l'ensemble des entiers naturels k est intégralement décrit par les nombres de la forme 3n, 3n+1 et 3n+2 avec n naturel. D'où les trois sommes.

Silk

[invite58a61433]

Bonsoir,

comment aurait on fait si ca avait été (4n)! ou (5n)!

Tu aurais divisé en somme sur 4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3 pour 4n! et utilisé les racines quatrièmes de l'unité, et pareil pour 5n! : 5n, 5n+1,...,5n+4...

[invite371ae0af]

merci de votre aide