salut j'ai une question débile
j'ai pas compris comment il a su que " le trinôme aλ2+bλ+c est de signe constant "
Théorème dit :
∀x,y∈E, (x|y)2≤(x|x)(y|y).
De plus, il y a égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires.
[Démonstration]
Si x=0, la propriété est immédiate avec égalité et colinéarité des vecteurs x et y.
Si x≠0, considérons pour λ∈R, le produit scalaire (λx+y|λx+y).
D'une part, par positivité, (λx+y|λx+y)≥0.
D'autre part, par bilinéarité et symétrie, (λx+y|λx+y)=λ2(x|x)+2λ(x|y)+(y |y).
En posant a=(x|x) (a≠0 car x≠0), b=2(x|y) et c=(y|y), le trinôme aλ2+bλ+c est de signe constant donc de discriminant négatif. Ainsi b2−4ac≤0 ce qui donne (x|y)2≤(x|x)(y|y).
De plus, s'il y a égalité dans cette inégalité, le discriminant est nul et donc il existe λ∈R tel que (λx+y|λx+y)=0 ce qui entraîne λx+y=0. La famille (x,y) est alors liée.
Inversement, supposons la famille (x,y) liée. Sachant x≠0, on peut écrire y=μx et vérifier par bilinéarité du produit scalaire l'égalité (x|y)2=(x|x)(y|y).
et merci d’avance
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Re : Inégalité de Cauchy-Schwarz
