série alternée

[invite371ae0af]

bonjour,
j'ai vu que lorsque le terme général d'une série alternée n'est pas décroissant on pouvait faire un développement asymptotique.
Par exemple:
soit la série alternée de terme général :
a_n= n>=1

on voit en faisant |a_n+1-a_n| que ce n'est pas décroissant
en faisant un développement asymptotique on arrive à dire que la série diverge puisque le terme général devient: an=

cependant pourquoi peut-on parler d'une série alternée ici puisque les hypothèses ne sont pas vérifiées (décroissance, limite égale à 0)?

merci de votre aide
-----

[Tiky]

Bonjour,

Il ne faut pas confondre les exigences du critère des séries alternées et la définition d'une série alternée. Une série numérique est dite alternée si son terme général peut s'écrire avec une suite positive.

D'autre part, le critère des séries alternées demande que la série soit alternée, que le terme général soit décroissant en module et tend vers 0. Il faut donc calculer et non . Note que dans ton cas, le terme général n'est pas non plus décroissant en module.

[invite371ae0af]

mais dans l'exemple que j'ai donné; pourquoi vérifie t-on que la série est convergente puisqu'on sait qu'elle est alternée.

quelle est la différence entre le critère des séries alternées et la définition? C'est la même chose non? puisque dans le critère il y a la décroissance, la limite et également les signes alternées

[Tiky]

Une série alternée est une série dont le terme général change alternativement de signe ! La série suivante est alternée et pourtant elle diverge grossièrement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

pourtant dans mon cours je n'ai pas la même définition (je retranscris)
une série est dite alternée si le terme général tend vers 0, le module du terme général décroit, les signes sont alternées

[invitec317278e]

Ben ton cours a une définition différente de celle de cet exo.
Mais au fond, on s'en fiche, la seule question est de savoir si la série satisfait ou non aux hypothèses du critère spécial des séries alternées.

[invite371ae0af]

donc en gros dans mon cours c'est le critère spécial qui est énoncé.
Ici pour mon exercice on emploie une autre technique pour savoir si une série alternée converge

[Tiky]

Oui. Au passage on peut démontrer le critère des séries alternées à l'aide de la transformation d'Abel. En fait on peut même démontrer le test de Dirichlet, un résultat un peu meilleur et parfois bien pratique.

[invite371ae0af]

merci de votre aide à vous 2

mais j'aurai une question à propos du développement asymptotique.
Dans l'exemple que j'ai donné c'est comme si on faisait un DL mais l'infini. pourquoi ne pas faire un changement de variable pour se ramener en 0 pour faire un DL?

[Tiky]

C'est exactement ce que tu fais. Si tu veux mieux visualiser, tu peux poser u = 1/n. Mais ça ne change rien aux calculs.

[invite371ae0af]

d'accord merci