Question sur les structures algebriques

[invite5cc6acf0]

Petite question que je me pose en revisant mes cours : est ce faux de dire qu'un anneau est un espace vectoriel E dans E.
Merci d'assouvir ma curiosité.
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[Tiky]

Bonjour,

C'est faux mais à peu de chose. Un espace vectoriel est toujours défini sur un corps. Il y a une généralisation des espaces vectoriels qu'on appelle les modules. Tous les axiomes des modules et des espaces vectoriels sont les mêmes à l'exception du corps de base qui est remplacé par un anneau dans le cas des modules. On parle alors souvent de A-module (à gauche pour faire pédant) où A désigne l'anneau.

Un anneau A est un A-module de dimension 1.

[invite986312212]

message annulé (ânerie)

[invite97d79020]

Bonjour.

Pour préciser un peu, les premières différences qu'il y a entre un module et un espace vectoriel sont que l'anneau n'est pas forcément unitaire (il n'y a pas forcément d'élément neutre: pour la multiplication), du coup un des axiomes des espaces vectoriels () n'est plus demandé.

Par ailleurs, l'anneau n'étant pas forcément intègre (car il peut y avoir et non nuls tels que ), on a plus la règle de calcul: ; et cette règle est super importante pour démontrer plein de propriétés des espaces vectoriels. Enfin, la non existence, dans le cas général, de pour tout non nul de l'anneau pose aussi bien entendu des difficultés dans les modules.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

euh... en ce qui me concerne j'ai jammais vu personne travailler avec des modules sans supposer l'anneau unitaire et supposer que 1.x=x.

considérer des module sur un anneau A sans cette hypothèse reviens exactement à considérer un module "classique" sur l'anneau A+Z (munie des lois evidente (a+n)+(a'+n')=(a+a')+(n+n') et (a+n)(a'+n')=(aa'+n'.a+na') + nn', le neutre étant 0+1) ce qui est d'un interet limité... (avec cette définition, un Z module n'est plus un groupe abélien, mais un groupe abélien equipé d'un projecteur... )

[invite97d79020]

Autant pour moi. Je n'ai pas moi même étudié les modules donc je ne connais pas trop les hypothèses que l'on garde.

Est-il aussi inadéquat de travailler avec des anneaux non intègres?

[Tiky]

Non avec des anneaux non intègres, c'est assez fréquent. Aujourd'hui on considère la plus part du temps qu'anneau est synonyme d'anneau unitaire. On doit donc préciser quand l'anneau n'est pas unitaire.