valeur reelle de cos(pi/7)

invitedce53bef · 24/08/2011, 11h10

Bonjour
calculer une valeur exacte reelle de $\cos(\frac{\pi}{5})$ est possible en passant par la racine du polynome $P(x)=16X^4-20X^2+5$ et en exprimant cos(5x) en fonction de cos(x)

malheureusement, avec $\cos(\frac{\pi}{7})$ et en reutilisant la meme methode via le binome de Newton et la formule de moivre, on arrive sur un polynome du 3eme degré
si je detaille et si je n ai pas fait d erreur de calcul ou de recopiage

$\cos(7x)=\Re(\cos7x+i\sin7x)\\=\Re(cosx+isinx)^7\\=cos^7x-21cos^5xsin^2x+35cos^3xsin^4x-7cosxsin^6x\\=64cos^7x-112cos^5x+56cos^3x-7cosx\\=cosx(64(\alpha)^3-112(\alpha)^2+56(\alpha)-7)$
avec $cos^2x=\alpha$

$cos7x=0\longleftrightarrow x=(\frac{\pi}{14})+k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$
donc a priori $\cos(\frac{\pi}{14})$ est une racine de ce polynome du 3eme degré
Les 3racines, je pense sont reelles et non complexes donc y aurait il un moyen de trouver une solution reelle a $\cos(\frac{\pi}{7})$
?

invitea3eb043e · 24/08/2011, 16h33

Un petit calcul numérique te permettra de vérifier si ton équation est juste (car tu connais cos(pi/7) )
Ensuite, quand 7 x = pi/2 + k pi alors x ne vaut pas ce que tu as écrit.

invitedce53bef · 24/08/2011, 19h44

oui excuse moi cela vaut plutot $\cos(\frac{\pi}{14})+(\frac{\pi}{7})k$ ( je n arrive pas a oter le i a cote du symbole pi)
Par contre je ne vois pas ce que tu veux dire en disant que je connais cos(pi/7) ?

**invite4793db90** · 24/08/2011, 23h31

Salut,

Envoyé par Psykedelik

donc a priori $\cos(\frac{\pi}{14})$ est une racine de ce polynome du 3eme degré

Non, en raison du changement de variable, il s'agit de $\cos^2(\frac{\pi}{14})$ (les deux autres racines étant $\cos^2(\frac{3\pi}{14})$ et $\cos^2(\frac{5\pi}{14})$ ).

Tu pourras en déduire la formule convoitée à l'aide de celle de de Cardan.

Note : cela ne remet pas en cause le fait qu'il est impossible de construire un heptagone régulier à la règle et au compas (mais il s'agit sans doute d'une autre histoire).

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitea3eb043e · 25/08/2011, 08h41

Envoyé par Psykedelik

oui excuse moi cela vaut plutot $\cos(\frac{\pi}{14})+(\frac{\pi}{7})k$ ( je n arrive pas a oter le i a cote du symbole pi)
Par contre je ne vois pas ce que tu veux dire en disant que je connais cos(pi/7) ?

Ce que j'ai voulu dire, c'est qu'avec une calculette, tu peux vérifier que ton équation est juste : le cosinus est donné avec une excellente approximation et tu peux vérifier que ça colle.

invitedce53bef · 25/08/2011, 13h04

@ Jean Paul : merci d avoir explicité ton conseil

@ MartiniBird : oui exact merci de corriger

utiliser la formule de cardan en passant par un polynome de 3eme degré donne des racines réels ? Je vais essayer de l appliquer, mais c est un peu fastidieux...
N y a t il pas des programmes qui transforment les polynomes de 3eme degré de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$ en polynome de la forme $z^3+pz+q$
avec $x=z-(\frac{b}{3a})$ $p=-(\frac{b^2}{3a^2})+(\frac{c}{a})$ et $q=(\frac{b}{27a})(\frac{2b^2}{a^2}-\frac{9c}{a})+\frac{d}{a}$

valeur reelle de cos(pi/7)

valeur reelle de cos(pi/7)

Re : valeur reelle de cos(pi/7)

Re : valeur reelle de cos(pi/7)

Re : valeur reelle de cos(pi/7)

Re : valeur reelle de cos(pi/7)

Re : valeur reelle de cos(pi/7)

Discussions similaires

Une fonction a valeur reelle constante est elle holomorphe?

valeur de cos²(Pi/4)

Valeur physique réelle d'une inductance

valeur exacte de cos pi/24

Retrouver valeur exacte de cos(7pi/12)...