En quel sens, et pourquoi ? Le lacet n'a aucune raison d'être envoyé sur lui-même.On a une contradiction parce les relations d'ordre doivent être respectées.
Une conséquence d'une de mes remarques précédentes est que, si une "preuve" peut être adaptée pour montrer que si l'on se donne deux points sur la sphère , alors toute involution continue fixant ces deux points est l'identité, alors cette preuve est fausse.
Exactement ,je pense qu'il faut faire intervenir la géométrie du cercle.
Pour ce qui est de la source je n'ai moi même aucune idée du contexte puisqu'il m' a été proposé par un ami.
Si un lacet passe successive ment par a1 a2 .. am ,,, an
limage doit etre un lacet passant sucessivement par f(a1) f(a2) f(am) f(an) etc
cest le cas dans l'exemple proposé
le lacet n'est pas envoyé sur lui-même, mais si tu découpes le cercleEnvoyé par Garf
en deux segments
on a ici deux points,
ah oui je viens de comprendre mon erreur... misère!
bon, quelqu'un va y arriver à démontrer ce truc qui a l'air si évident?
Franchement, sauf coup de pot ou longues heures de recherches, je doute qu'on trouve quelqu'un ici qui ait les capacités et la patience de résoudre ce problème. Je suggère de poser le problème par exemple sur math.stackexchange, où il y a un peu plus de trafic.
On suppose par l'absurde que f est différente de l'identité il existe donc deux points A et B liés par f(car f est son propre inverse) .On fait passer une courbe simple fermé de A et B qui intersecte le cercle unité dans exactement 2 points B1 et B2, on nomme la courbe L 1.on considère une autre courbe L2 simple passant de A vers le cercle intersectant ce dernier dans un point C.L1 inter L2 est un seul point c'est A.On montre que l'image de L1 inter l'image de L2 a un cardinal strictement supérieur à 1 ce qui montre que f n'est pas une injection.Absurde
On trouve sur ce site la réponse suivante:
Let f be a continuous involution of the closed disc D which acts as the identity on the boundary circle S. Suppose f(x)=y≠x for some x in the interior of D. Then, since f∘f=id, f acts on the complement of {x,y}. So let X=D∖{x,y}. It is not hard to show that X is homotopy-equivalent to the wedge union of two circles S1∨S1 by a deformation retract, so we see that the fundamental group of X is the free group on two generators.
Now, consider the homomorphism f∗:π1(X)→π1(X) induced by f. By functoriality, f∗ is also an involution. Let a be the homotopy class of a simple closed curve going counterclockwise around x, and let b be the homotopy class of a simple closed curve going counterclockwise around y. It is clear that a and b generate π1(X), and it can be shown that f∗(a)=b and f∗(b)=a. Let c be the homotopy class of the curve γ going counterclockwise on the boundary circle S. We must have f∗(c)=c, since f∘γ=γ. We may assume without loss of generality that c=ab. But f∗ is a homomorphism, so this implies ab=ba, which contradicts our earlier assertion that a and b generate π1(X) freely.
We conclude that any continuous involution of D fixing S must in fact be the identity on all of D.
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answered 2 hours ago
Zhen Lin
4,4741317
why is f∗(a)=b and f∗(b)=a? – Soarer 2 hours ago
@Soarer: There is an open neighbourhood of x consisting entirely of non-fixed-points of f. By contracting the loop into that neighbourhood we see that f∗ must take a to b. – Zhen Lin 2 hours ago
@Zhen: Why ab=ba by homomorphism f∗? – group 1 hour ago
@group: If c=ab, and f∗(c)=c, f∗(a)=b and f∗(b)=a... – Zhen Lin 1 hour ago
c'est au dessus de mon niveau!
Rha, j'étais parti dans cette direction, mais au lieu de considérer un point qui ne s'envoie pas sur lui-même, j'essayais d'utiliser un point à l'intérieur du disque qui s'envoie sur lui-même (quitte à prouver son existence après). Ca marche moins bien.De toutes façons je n'aurais pas été à l'aise avec ce genre d'arguments.
En tous cas, bien joué de la part de celui qui a répondu. Une question sur sa preuve : peut aussi avoir
Affaire close.Il est effrayant avec quelle vitesse ils ont donné la réponse.
