L'intégrale est-elle définie ou pas ?

[invite8c935645]

Hello,

Soit l'intégrale de 0 à 1 : x^(-x).(cosh (x) - 1))^-1
On ne demande pas de la calculer mais seulement de dire si elle est bien définie ou pas.
Au départ, j'aurais dit non mais comme c'est sur l'intervalle de 0 à 1 et que sur cet intervalle, x^(-x) et (cosh (x) - 1))^-1 sont deux fonctions bornées, je me suis dit que le produit de ces deux fonctions devraient être également bornée et que l'intégrale est finalement bien définie, qu'elle converge bel et bien. Malheureusement, je n'arrive pas à le prouver (j'ai déjà essayé le critère des fonctions tests, le critère de comparaison et le critère d'Abel (mais ce dernier ne peut pas être utilisé finalement car on est sur l'intervalle 0 à 1 et qu'alors aucune des fonctions n'est décroissante ...). Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance !
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[invite371ae0af]

si ta question porte sur: si elle est définie ou pas, il suffit que la fonction dans l'intégrale soit continue pour qu'elle admette des primitives

[albanxiii]

Bonjour,

369 : ça vous dit quelque chose "intégrale impropre" ? et "convergence" ?

[invite371ae0af]

oui, je me suis trompé?

en faites je pensais pas que le fais qu'une intégrale soit bornée (convergente,...) impliquée qu'elle était définie

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Au départ, j'aurais dit non mais comme c'est sur l'intervalle de 0 à 1 et que sur cet intervalle, x^(-x) et (cosh (x) - 1))^-1 sont deux fonctions bornées, je me suis dit que le produit de ces deux fonctions devraient être également bornée et que l'intégrale est finalement bien définie, qu'elle converge bel et bien. Malheureusement, je n'arrive pas à le prouver (j'ai déjà essayé le critère des fonctions tests, le critère de comparaison et le critère d'Abel (mais ce dernier ne peut pas être utilisé finalement car on est sur l'intervalle 0 à 1 et qu'alors aucune des fonctions n'est décroissante ...).

Bonjour,
Je voudrais bien savoir comment vous faites pour borner la fonction
sur l'intervalle 0,1 ?

[phys4]

En fait, j'ai bien trouver un majorant pour x^-x

Par contre pour l'autre fonction qui s'écrit 1/(cosh x - 1) ayant pour équivalent 2/x² vers zéro, je n'en vois pas.

[invite8c935645]

Merci pour les réponses.

Je crois que j'ai trouvé. Pour majorer l'intégrale de x^-x sur l'intervalle (0,1), je considère la fonction 1/x sur le même intervalle et comme l'intégrale de cette fonction n'est pas définie en 0, on en déduit que l'intégrale sur (0,1) de (x^-x).(cosh x - 1) ^-1 n'est finalement pas définie.

[phys4]

Merci pour les réponses.

Je crois que j'ai trouvé. Pour majorer l'intégrale de x-x sur l'intervalle (0,1), je considère la fonction 1/x sur le même intervalle et comme l'intégrale de cette fonction n'est pas définie en 0, on en déduit que l'intégrale sur (0,1) de (x^-x).(cosh x - 1) ^-1 n'est finalement pas définie.

Je crains que la démonstration ne soit pas claire ou fausse.
La conclusion est exacte cependant la divergence ne vient pas de x^-x mais de (cosh x -1)^-1
En effet x^-x entre zéro et 1 est compris dans l'intervalle [1,e] donc intégrable.
Pour le démonter il suffit de considérer
qui s'écrit en posant u = 1/x dans l'intervalle

Comme ln u/ u est compris entre zéro et 1 dans cet intervalle, son exponentielle est comprise entre dans l'intervalle indiqué.

La fonction varie comme 2/x² au voisinage de zéro, or cette fonction n'est pas intégrable en zéro puisque sa primitive tend vers l'infini comme 1/x