Anneaux et Corps

[invite332de63a]

Bonjour je souhaitais discuter avec vous de cet exercice que je dois montrer mais qui me pose problème car pour ma part il me faudrait l'intégrité de l'anneau A pour pouvoir conclure...

Soit (A,+,.) un anneau non supposé unitaire, tel que pour tout et tout l'équation admette une solution au moins, montrer que A est un corps. En gros le problème revient à montrer que A est unitaire. Nous avons un indice (j'avais débuté par là sans même l'avoir regardé...)

Donc on a d'où , et là quoi que je fasse il me manque l'intégrité pour conclure, par exemple je suppose que n'est pas élément unité alors tel que mais on a donc donc l'intégrité me permettrai de conclure... mais là rien n’empêche ce résultat... enfin rien que je vois...

Merci de m'aider, RoBeRTo BeNDeR
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[invite307c5052]

Bonsoir,

pour que le résultat soit valable il faut supposer l'anneau non nul car l'hypothèse est alors vérifiée! donc nous supposerons l'anneau A non nul.

Avant de démontrer que A est unitaire il faut démontrer que A est intègre.

Raisonnons par l'absurde en supposant A non intègre:il existe a,b € A \ {0} tels que ab=0

Comme a est non nul il existe par hypothèse e€A tel que ae=a

Comme b est non nul il existe par hypothèse c€A tel que bc=e

D'où 0=0c= (ab)c=a(bc)=ae=a donc a=0 contradiction donc l anneau supposé non nul A est bien intègre.

de là on tire l'existence d'un élément neutre puis que A est un corps.

Bonne continuation

Serge

[invite332de63a]

L'anneau est supposé non nul j'avais juste oublié de le retranscrire, merci pour l'aide.

RoBeRTo