F union G sous espace vectoriel de E

invite31dc2028 · 08/09/2011, 18h13

Bonjour à tous,
Voila j'ai un exercice à faire pour demain et je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Le chapitre traite des Espaces Vectoriels.
"Soit E un K-ev, G et G deux sous espaces vectoriels de E.
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur F et G pour que F (union) G soit un sous espace vectoriel de E."

Je pense qu'il faut montrer que F C G mais je sais pas trop comment rediger la solution.. Si vous pouviez m'aider.

Merci beaucoup

**Seirios** · 08/09/2011, 18h26

Bonjour,

Tu es effectivement sur la bonne voie. Une possibilité est de supposer que tu as ni $\text{[math]}$ ni $\text{[math]}$ . Dans ce cas, il existe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Que peux-tu dire de x+y ?

invite31dc2028 · 08/09/2011, 18h33

Je peux dire que x+y appartient à G union F ?

**Seirios** · 08/09/2011, 18h35

Ce serait vrai si $\text{[math]}$ était effectivement un sous-espace vectoriel, mais justement, est-ce vraiment le cas ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite31dc2028 · 08/09/2011, 18h40

Pour que F union G soit un sous espace vectoriel il faut qu'il soit non vide et compris dans E.

Comment savoir si (F U G) C E... ?

On sait que F l'est et que G aussi ( car ce sont des sev de E)

Est-ce suffisant pour dire que c'est un sous espace vectoriel ?

**Seirios** · 08/09/2011, 18h43

Bien sûr que $\text{[math]}$ , puisque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Ce que je voulais dire, c'est qu'une condition nécessaire pour que $\text{[math]}$ soit un sous-espace vectoriel, c'est qu'il soit stable addition. Or tu peux remarquer que $\text{[math]}$ (tels que j'ai défini x et y précédemment) n'appartient ni à G ni à F.

invite31dc2028 · 08/09/2011, 18h47

Donc par contraposé, il faut que F C E ou G C F...
J'ai compris ton raisonnement, merci beaucoup.

Seulement je ne comprends pas quand tu dis que x+y n'appartient ni à G ni à F ?

**Seirios** · 08/09/2011, 18h55

Supposons que $\text{[math]}$ . Comme F est un sous-espace vectoriel, alors $\text{[math]}$ (on utilise la stabilité de F par combinaison linéaire) ce qui est faux. On raisonne de même pour G, puis on conclut que $\text{[math]}$ .

invite31dc2028 · 08/09/2011, 19h07

Je n'arrive pas à comprendre comment tout ça marche..

Je suis désolé ça doit etre tout bête mais avec ce chapitre j'ai vraiment du mal à voir les choses simplement.

Comme F est un sous-espace vectoriel en effet il est stable par combinaison linéaire.
En quoi ton étape montrant que x = (x+y) - y nous est utile ?
Si (x+y) appartient à F, alors (x+y)-y appartient à F aussi non ?

**Seirios** · 08/09/2011, 19h10

Si (x+y) appartient à F, alors (x+y)-y appartient à F aussi non ?

Tout à fait, mais on raisonne par l'absurde : comme x n'appartient pas à F, c'est que nécessairement x+y n'appartient pas à F.

invite31dc2028 · 08/09/2011, 19h11

Ah mais oui, j'avais oublié de faire le lien !

Merci beaucoup c'est beaucoup plus clair !

A bientot !!

invitecb6bde19 · 08/09/2011, 21h57

Mdrrr Dan !! Comme on se retrouve

Je faisais une petite recherche sur google, et là je tombe sur qui ? Un Isépien !
Dès le premier exo en plus, mais dis moi, ce n'est pas très sérieux ! Mdrr

Allez à demain Dan !

F union G sous espace vectoriel de E

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Re : F union G sous espace vectoriel de E

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