Maths Sup - Problème de polynômes

[invite3b6bbe93]

Bonjour je ne m'en sors pas sur cet exercice :
Trouver les polynômes vérifiant (X+1)P(X)=(X-2)P(X+1)

En substituant -1 puis 2 à X j'obtient P(0)=0 et P(2)=0. J'en déduit que P(1)=0 en substituant 0 (ou 1 ça marche aussi) à X
Cependant je ne trouve aucune autre information sur ces polynômes ...
Quelqu'un pourrait-il maider à m'en sortir?
Merci
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
si alors . Comme , a une infinité de racines. Je te laisse conclure.

[invitea07f6506]

Bonjour,

C'est bien parti. On peut maintenant factoriser les racines que tu as trouvées, et donc écrire P(X) = X (X-1) (X-2) Q(X) pour un certain polynôme Q éventuellement nul.

Edit : attention Girdav, tu divises par zéro (regarde par exemple le cas k=2).

[invite3b6bbe93]

Merci Garf je n'avais pas pensé à écrire P avec ses racines.
Girdav j'avais essayé de prouver que P est nul par récurrence mais le cas k=2 bloque la récurrence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b6bbe93]

Est ce que mon raisonnement est juste :

En remplaçant P(X) par X(X-1)(X-2)Q(X) avec Q(X) un polynôme dans l'égalité (X+1)P(X)=(X-2)P(X+1), j'obtient :

X(X-1)(X-2)Q(X)(X+1) = (X-2)(X+1)X(X-1)Q(X+1)

En écartant les cas X=-1, X=0, X=1, X=2 j'arrive à Q(X)=Q(X+1) quelquesoit X différent de -1,0,1 et 2

Je pose R(X)=Q(X)-Q(3) (en prenant 3 aléatoirement)
donc R(X+1)=Q(X+1)-Q(3)=Q(X)-Q(3)=R(X) quelquesoit X différent de -1,0,1 et 2

OR R(3)=0 donc en faisant une récurrence j'obtient R(n)=0 quelquesoit n entier supérieur ou égal à 3
Ainsi R=0 ( car il admet une infinité de racines )
Ainsi Q(X)=Q(3) donc Q est un polynôme constant
Ainsi les polynômes vérifiant l'égalité sont les P(X)=K(X-2)(X-1)X avec K une constante (complexe?)

[invite371ae0af]

pourquoi poses-tu R(X)=Q(X)-Q(3) (en prenant 3 aléatoirement)

tu as déjà trouvé Q(X)=Q(X+1) donc Q(X)=K, K dans R

[invite3b6bbe93]

C'est pour prouver que si Q(X)=Q(X+1) alors Q(X)=K
Mais K peut être complexe non?

[invite371ae0af]

si on a Q(X)=Q(X+1) alors Q est forcément constant puis tu as Q(0)=Q(1)=Q(2)=...

pour savoir si k est complexe ou pas, il faut voir si dans ton énoncé P est dans R[X] ou C[X]

[Tiky]

Si sur une partie infinie de , alors admet une infinité de racines. C'est donc le polynôme nul. On en déduit que Q est constant.

[invite9617f995]

Hmm, Tiky, c'est pas plutôt au polynôme Q(X)-Q(0) qu'il faut s'intéresser ? Parce que le fait que Q(X)-Q(X+1) est nul, on le sait déjà et ça n'avance pas trop pour montrer que Q est constant.

[Tiky]

Euh oui XD. Merci.