Exercice de topologie

[invitec811222d]

Bonsoir à tous, voilà un petit exo sur lequel je planche et aimerai savoir si ma preuve est bonne.

Soit un espace métrique et compact et soit continue , Montrer que .

Preuve:

L'image d'un compact par une fonction continue est un compact. Dans un espace métrique un compact est fermé borné, donc est une partie fermé et bornée de donc le sup existe. Par ailleurs , et , donc pour toute suite réel décroissante strictement positive , on peut trouver un entier tel que , donc soit alors , on construit alors la suite telle que , signifie que N dépend du n, la suite ainsi définie est extraite de
et converge vers un point de plus du théorème des gendarmes et de la continuité de f on en déduit que donc .

Il y'a certain point que je n'ai pas justifié car je trouve que ma rédaction est dejà lourde ... donc toute recommandation serait la bienvenue.
Voili Voilou merci d'avance pour vos remarques =)
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[Tiky]

Bonsoir,

Votre rédaction est un peu lourde, je n'ai pas tout lu. On peut simplement utiliser le fait que dans un espace métrique, un ensemble est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact.
En reprenant vos notations, comme la borne supérieure existe, on sait que l'on peut créer une suite à valeurs dans f(A) telle que .
La compacité de f(A) nous permet d'extraire une sous-suite convergente et la continuité de f permet de conclure.

[invitec811222d]

Merci Tiky ! Néanmoins est-ce bon ce que j'ai fait ?

[Tiky]

Oui je pense que c'est correct.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec811222d]

Merci =) je voulais quand même savoir si ce que j'ai fait était bon, j'ai fait l’effort de chercher mais je dois avouer "Short is beautiful" xD.