Des cochons multicolores ... aux chaines de Markov ?

[invite00970985]

Bonjour,

Je suis tombé sur l'énigme suivante :
"Sur une île d éserte, vivent des cochons éternels qui ne se reproduisent pas.
Il sont au départ 27 cochons bleus, 31 cochons jaunes et 33 cochons verts. Lorsque deux
cochons de couleurs différentes se croisent, ils prennent tout deux la troisième couleur.
Sachant qu’à la fin il ne reste qu’une couleur présente sur l’île, quelle est-elle ?"

J'ai réussi à déterminer cette couleur

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on peut attribuer 0 aux cochons bleux, 1 aux jaunes et 2 aux verts, et compter modulo 3 ; au départ la somme est de : 27*0 + 31*1+ 33*2 = 0 + 31 + 0 = 1[3].
On constate de plus que cette somme est conservée lors d'une rencontre.

A la fin, on doit donc avoir 91x = 1 [3] où x est la couleur cherchée. On en déduit que x=1, autrement dit, la couleur cherchée est le jaune.

J'aimerai aller plus loin en donnant l'espérance du nombre de rencontres nécessaires pour arriver à ce résultat. J'appelle "rencontre" lorsque deux cochons de couleurs différentes se rencontrent, et je considère que la probabilité de rencontre ne dépend pas du nombre de cochons dans chaque couleur.

Plus précisément, je modélise la situation par une chaine de markov (Xn) où les états sont donnés par (b,j,v) dans IN3, et pour les transitions :

Sauf pour les cas "limites" (quand b,j ou v sont nuls).

Problème : je ne vois pas comment décrire la matrice de transition associée, vu que l'espace d'état est un sous ensemble de IN^3 ; j'ai réussi à faire passer l'espace d'état à IN^2 en rusant un peu, mais je n'arrive toujours pas à indexer ma matrice correctement. Mais est-ce vraiment important ?

Après, je ne connais pas de résultats sur les chaines de Markov donnant un temps moyen pour atteindre une partie fermée de l'espace d'état ... En existe-t-il ? Avec un petit programme codé en vitesse, je calcule une moyenne empirique de 21 000 rencontres.
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