Convergence d'une suite.

[invitea5ab8741]

Bonjour,

Voici mon énoncé: Soit une suite réelle telle que:
- pour tout n,
- pour tout couple (m,n) d'entiers naturels,

Montrer que la suite converge vers sa borne inférieure.

J'ai démontré que lorsque n= qN + r, j'ai : .

Je sais que b_n est minorée par 0.
Il me reste donc à démontrer que est décroissante.

Avec l'inégalité que j'ai prouvée, on sent que avec: car tend vers 0.
Seulement je n'arrive pas à le prouver rigoureusement.
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[inviteea028771]

Tu peux toujours faire comme ça :



Comme et , alors donc est décroissante

[invitea07f6506]

Tryss -> Attention, erreur de signe lors du passage de la quatrième à la cinquième expression.

Guigs -> C'est une variation sur le lemme sous-additif*. Tu as une bonne idée sur la façon de procéder, j'ai l'impression qu'il ne te manque pas grand chose. Je préviens tout de suite : la suite n'est en général pas décroissante. Cependant, partons de l'inégalité (j'insiste sur la dépendance de en ) :



Posons maintenant . On a une inégalité un peut moins forte mais plus pratique :



Là, en faisant tendre vers , on note que . Ceci étant valable pour tout , on a donc :



ce qui implique que existe et vaut . Si cependant tu n'as pas vu ou ne veux pas te servir du formalisme limsup / liminf, voilà une solution plus élémentaire (essentiellement, c'est un simple changement de vocabulaire). Choisissons . Choisissons tel que . Alors, pour tout , on a :



La fraction tend vers quand tend vers . Donc, il existe tel que, pour tout , on ait . Alors, pour tout , on a :



Comme ceci est valable pour tout ...



* Bizarrement, je ne trouve pas de référence sur Wikipédia. Ou bien je me trompe de nom, ou bien il manque encore quelques petits résultats assez importants...

[inviteea028771]

Tryss -> Attention, erreur de signe lors du passage de la quatrième à la cinquième expression.

Erf, évidement ça marche moins bien -_-'

Et de toute façon c'est foireux dès le passage de la 2ème à la 3ème expression... l'inégalité est pas dans le bon sens

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Guigs -> C'est une variation sur le lemme sous-additif*.

* Bizarrement, je ne trouve pas de référence sur Wikipédia. Ou bien je me trompe de nom, ou bien il manque encore quelques petits résultats assez importants...

Vous avez raison, c'est bien ça. Cet exemple ainsi qu'un autre, sont traités dans "Analyse pour l'agrégation" de Queffélec et Zuily.