Bonjour, je viens de rentrer en sup et dans un DM une petite question me donne du fil à retordre
Démontrer qu'avec x, y et z réels > 0, alors x/y + x/z + z/x >(ou égal) 3
Voilà, à défaut de me donner la réponse, si je pouvais au moins avoir une indication sur quelle direction partir cela m'aiderait beaucoup.
Merci
Bonjour,
Tu as dû faire une erreur en recopiant l'énoncé : pour x=z=1 et y=2, l'inégalité donnerait 1/2>1...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,
pour x=z=1 et y=2, l'inégalité donnerait 7/2 >= 3, je crois
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On a 1+1+1/2>3, donc 1/2>1, non ?
De toute manière, à partir du moment où l'on fixe z=x, l'inégalite ne sera pas respectée pour y suffisamment grand.
Dernière modification par Seirios ; 08/09/2011 à 17h53.
If your method does not solve the problem, change the problem.
En effet je me suis trompé en recopiant ><" : ce n'est pas x/y + x/z + z/x mais x/y + y/z + z/x. Voilà désolé
Désolé, j'avais lu l'énoncé tel qu'il aurait dû être (c'est un classique) sans me rendre compte de la faute de frappe !Envoyé par Seirios (Phys2)
On a 1+1+1/2>3, donc 1/2>1, non ?
De toute manière, à partir du moment où l'on fixe z=x, l'inégalite ne sera pas respectée pour y suffisamment grand.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Une méthode possible, mais qui me semble un peu longue, il doit y avoir plus astucieux :
Tu as(1). Ensuite, en étudiant la fonction
If your method does not solve the problem, change the problem.
On démontre en algèbre élémentaire le principe suivant : La somme de plusieurs facteurs positifs, dont le produit est constant, est minimum quand ces facteurs sont égaux, s'ils peuvent le devenir.
Est on applique ce principe à la question posée.
Ok merci je vais voir ce que je peux faire avec les info que vous m'avez donné
Une indication sur le plan de la démonstration ?On démontre en algèbre élémentaire le principe suivant : La somme de plusieurs facteurs positifs, dont le produit est constant, est minimum quand ces facteurs sont égaux, s'ils peuvent le devenir.
If your method does not solve the problem, change the problem.
On peut toujours recourir à des théorèmes d'optimisation sous contrainte (par exemple), histoire de tuer une mouche avec un canon (mais proprement). Il me semble avoir vu une démonstration passant par une utilisation astucieuse de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, mais je ne mettrais pas ma main à couper qu'il s'agissait exactement du même problème, et je n'arrive pas à retrouver la démonstration en question...
Soit
On a égalité si et seulement si les réels sont tous égaux.
Donc si le produit est constant, la somme admet un minimum qui est atteint si et seulement si les réels sont tous égaux.
Edit : c'était pour répondre à la question de Seirios.
Dernière modification par Tiky ; 11/09/2011 à 21h45.
Mais oui, une bête inégalité de convexité ! Merci Tiky
Je n'avais même pas fait attention à la convexité XD, j'ai juste balancé le multinôme de Newton en barbare.Mais oui, une bête inégalité de convexité ! Merci Tiky
Dernière modification par Tiky ; 11/09/2011 à 22h19.
Cela donne effectivement une bien meilleure résolution !
If your method does not solve the problem, change the problem.
