une épineuse inégalité !!!

[invite5ffdc65e]

Salut !!!

J'ai une inégalité à prouver et je ne vois pas du tout comment faire !

Pour tout n appartenant à N étoile , racine(2pi/n+1)infe ou égal à In inf ou égal à racine(2pi/n) .

(In = intégale de 0 à pi/2 de (cosx)^ndx) .

Dans les questions précédents j'ai prouvé que la suite était décroisante et minorée par O et que In+1/In tend vers O en + l'infini .
J'ai donc intégrer In, et j'obtiens 1/n+1 que j'ai encadré mais cela ne me donne rien de concluant .

Si vous avez une idée sur cette superbe inégalité !!
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[Jeanpaul]

Variante de l'intégrale de Wallis qui court partout. Par exemple :
http://serge.mehl.free.fr/tableur/form_wallis.html

En calculant I(2n) * I(2n+1), tu devrais te rapprocher.

[invite5ffdc65e]

je suis allée voir sur le site et les questions que mon prof me pose correspond aux différentes étapes dévelopées pour la formule de Wallis .
Mais je ne vois vraiment en quoi calculer le produit I(2n)I(2n+1) me permet de retouver l'inégalité .
Est ce que je dois utiliser le relation démonter avant: O inf ou égal àI(n+1) inf ou égal à In ?

[Jeanpaul]

Je ne vais pas écrire toute la solution mais dans l'article mentionné (qui utilise une définition légèrement différente, facteur 2), on montre que :
I(2n) * I(2n+1) = 2*pi/(2n+1)
Si on utilise le fait que I(2n+1) < I(2n) (ce qui crève les yeux à priori) on trouve l'inégalité cherchée (remplacer 2n par n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ffdc65e]

Et non ça ne me parait pas évident !
Mais j'espère que tu vas prendre le temps de m'expliquer le point que je ne comprends pas dans le raisonnement . Comment sur le site internet trouve-il que I(2n) = pi *((1.3.5...(2n-1)/(2.4.6 ... 2n)) ? Surement en utilisant la relation de récurrence mais j'ai beau chercher je ne trouve pas le lien entre les 2 égalités .

Merci de ne pas perdre patience .

[nissart7831]

Bonjour,

il me semble qu'il y ait une erreur dans l'enoncé de l'exercice proposé.
L'encadrement demandé est bien celui correspondant à la formule de Wallis mais l'intégrale considérée est entre 0 et , alors que est entre 0 et . Je passe le fait que l'on considère cos au lieu de sin.

Et autre argument, et ne vérifie pas l'encadrement.

Donc soit est à prendre entre 0 et ,
soit l'encadrement cherché est différent, d'ailleurs j'en trouve un autre.

Alors ?

[invite5ffdc65e]

En fait,
L'énoncé est bien In= intégrale entre 0 et pi/2 de (cosx)^ndx . Et l'inégalité à prouver est bien racine ( 2 pi/(n+1)) inf ou égal à In inf ou égal à racine(2pi/n) .
Et c'est vrai que lorsque j'ai pris differentes valeurs de n pour vérifier l'inégalité, je touvais qu'elle était fausse .
Au passage In est bien égale à 1/(n+1) ?

[nissart7831]

Comment trouves tu
?
Si on savait calculer l'intégrale directement, je ne pense pas que l'on s'enquiquinerait à trouver un encadrement.

[invite5ffdc65e]

Je dois alors faire une énorme confusion,car je pensais que la primitive de (cosx)^n est (1/n+1)(sinx)^n+1 Et alors en intégrant entre O et pi/2 je trouvais 1/(n+1) .

[nissart7831]

Et bien non, verifie en dérivant la fonction que tu as trouvée comme primitive et tu verras que tu ne retombes pas sur la fonction voulue.
Reprends dans tes cours les formules de dérivées/primitives et combine les comme il faut.

Et je continue à dire que l'énoncé de ton exercice n'est pas cohérent.
Je te donne un conseil, résouds le en prenant l'intégrale entre 0 et . Et résouds le pour l'integrale entre 0 et . Dans ce dernier cas, l'encadrement cherché est différent de celui demandé, mais si tu as compris la formule de Wallis, ce ne devrait pas être trop compliqué à trouver l'encadrement correspondant.

[invite5ffdc65e]

En fait, je pense que je n'arrive pas bien à traiter cette question parce que j'ai mis de côté une question intermédiaire qui devait être importante .

Juste après avoir fait l'intégration par parties de I(n+2), je trouve une relation de récurrence qui est I(n+2)=((n+1)/(n+2))In et on me demande d'en déduire la valeur de (n+1)*I indice(n+1)*I indice n .
D'après Wallis ce rapport est cst et égal à pi/2 mais je ne vois pas comment il arrive à cette conclusion !!!

Et partant de cette relation peut être peut on retrouver l'inégalité ?


à lalalalal c'est pas une inégalité de méde

[nissart7831]

OK pour ton integration par parties.
Donc, tu as exprimé en fonction de . Ne peux donc tu pas utiliser cette relation pour exprimer en fonction des termes précédents?
Indice: dans la relation, il y a un saut de 2 dans les indices. Pour exprimer tu devras donc différencier le cas n pair et le cas n impair.

[invite5ffdc65e]

ok je peux faire une récurrence et comme ça je montre que (n+1)I indice n+1 *I indice n est égal à pi/2 !!!! C'est ça ?

[nissart7831]

Tu as trouvé:



c'est-à-dire que de proche en proche, on peut exprimer en fonction des termes précédents de la suite , soit :



On va donc pouvoir exprimer en fonction des premiers termes de la suite que l'on sait calculer directement.

Le problème qui reste est que suivant la parité de n (car on fait un saut de 2 dans les indices de dans la relation), on va trouver une expression de en fonction de (n impair) ou (n pair).
Exprimer que n est pair (respectivement impair) veut dire qu'il peut s'écrire sous la forme n=2p (respectivement n=2p+1) avec p IN.
Alors exprimer revient à exprimer .

Ainsi exprime et en fonction des premiers termes de la suite et tu pourras ensuite faire leur produit. Après simplification, tu devrais trouver l'expression cherchée.

[invite5ffdc65e]

Ok je vois enfin le bout de cette inégalité .

Merci à tous pour votre aide !!!