Suite et analyse

[invite1adebb8b]

Bonjour a tous,

J'ai 3 question dans 3 exercices differents que je n'arrive pas a résoudre.

la premiere:

Soit la suite Sn définie par récurrence : Sn+1= (n+1)²-Sn
Démontrer par réccurence que que Sn+1-Sn=n+1 . Je n'arrive pas a prouver l'héréditée.


La deuxieme:

Soit Un la suite définie par : Un+1= (Un)²+4Un+2 .
j'ai montrer que Un+1 +2 = (Un+2)² et il demande maintenant d'en déduire la nature de la suite Un, c'est a dire si elle converge, diverge...

La troisieme:

Pour n>0 , an=(n-1)/(n^3 +1) et An = a1+a2+a3+...+an

J'ai montrer que pour n>ou= a 2, o<an<1/n²<(1/n-1)-1/n

ensuite on pose an= 1/(n(n+1) - 1/(n(n+1)(n+2)(n+3)) - bn


Il demande de calculer bn en fonction de n et de prouver que pour tout n>= a 2 on a : 0<bn<6/n^5<(intégrale de n-1 a n de 6/t^5 (dt))


Et alors la je n'y arrive vraiment pas .

Si vous avez des idées ...
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[invite371ae0af]

pour l'hérédité tu veux prouver: S_n+2=(n+2)+S_n+1

avec l'expression de départ tu as déjà:
S_n+2=(n+2)²-S_n+1=(n+2)²-(n+1)-S_n par hypothèse de récurrence
S_n+2=(n+2)²-(n+1)+S_n+1-(n+1)²=(n+2)+S_n+1

[invite1adebb8b]

Ok merci.

Mais je bloque toujours sur les deux autres questions

[invitea0db811c]

Pour la deuxième :

Pose Vn = Un + 2. Ensuite tu peux en déduire la nature de la suite en fonction de V0 avec l'expression "Vn+1 = Vn²", et donc la nature de Un.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1adebb8b]

Ok donc Un diverge en plus infini.


Et sinon pour la 3eme question, j'ai essayer de devellopper tout les termes,mais c'est assez horrible et je bloque .

[invite14e03d2a]

Ok donc Un diverge en plus infini.

Pas forcément. Cela dépend de V0 (et donc de U0). Que se passe-t-il par exemple si V0 est égale à 1? s'il est égale à 1/2?

Pour le début de la troisième question, vu que tu as une expression de a_n, il suffit de passer la fraction à droite de l'égalité du côté gauche, de tout mettre au même dénominateur et de simplifier. Les calculs sont un peu pénibles mais c'est faisable.

[invite1adebb8b]

D'accord je vais faire sa, mais c'est pour l'encadrement que sa risque de poser probleme, notamment avec l'intégrale, que je ne sais comment amener.
Je pense que pour l'encadrement il faut que je me serve de l'encadrement de an donner avant. Donc si je devellope an en fonction de n, je ne pourrais plus me servir de l'encadrement non?

[invite1adebb8b]

Non vraiment pour la derniere question je seche :

Je trouve :
bn=(6n²+11n+5)/(n(n+1)(n+2)(n+3)(n^3 +1)


Mais l'inégalité je n'arrive pas a la montrer, car l'intégrale me pose probleme.

[invite14e03d2a]

Salut,

Je n'ai pas fait les calculs dans le détail et n'ai pas vraiment envie de le faire. Donc désolé si mes indications sont vagues ou inutilisables.

Pour l'inégalité avec l'intégrale, c'est plus facile qu'en apparences. L'idée derrière est classique:

 Cliquez pour afficher

Pour tout t entre (n-1) et n, on a (on commence doucement ). Par conséquent, on a . En intégrant, j'obtiens . Mais la première intégrale ne dépend pas de t et vaut .

Pourquoi l'inégalité est-elle stricte? C'est parce que la fonction est positive sur l'intervalle [n-1,n] où l'on intègre et qu'elle est continue. Par conséquent, vu qu'elle est strictement positive en au moins un point, son intégrale est strictement positive.

Dans le cas présent, l'intégrale se calcule explicitement (on connait une primitive de et donc on peut se ramener à montrer une inégalité "classique" (sans intégrale).

Pour les autres, une méthode consisterait, au lieu de montrer une inégalité entre deux objets, à montrer que la différence est positive (ou négative). Vu que tu n'as que des fractions rationnelles à étudier, il suffit de tout mettre au même dénominateur et de factoriser pour étudier le signe. (Vu que tu as des polynômes de degré un peu élevés, la factorisation risque d'être un peu pénible).

Au passage, -1 est une racine de 6n²+11n+5.

Cordialement