Séries et convergence

[aureo91]

Bonsoir,

Dans un exercice, on me demande de prouvé qu'une série est convergente et que sa somme tend vers (pi)²/6 .
La serie est de terme général 1/n² .

Pour la convergence, j'utilise la série de réference Riemann en disans &=2 qui est plus grand que 1 d'ou la série converge.
Mon problème est que j'arrive pas à démarrer pour montrer qu'elle tend vers (pi)²/6 ca sent les cosinus et sinus a plein nez lol mais je vois pas comment faire ... Un petit coup de pouce ne serait pas de refus.

Merci !
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[Seirios]

Bonjour,

C'est un problème classique, le calcul de . La solution peut être trouvée assez rapidement grâce aux séries de Fourier, sinon on passe généralement par pas mal d'étapes intermédiaires en utilisant les intégrales de Wallis, ce qui n'est pas vraiment évident. Tu as déjà vu les séries de Fourier ?

[aureo91]

Merci pour ton aide, on a effectivement parler des série de fourrier mais on doit les voir plus tard. En revanche il me semble avoir vu les integrale de wallis ...

[Seirios]

En fait il s'agit des nombres de Bernoulli et non des intégrales de Wallis...Voici un lien vers le plan de la démonstration : http://mpsiddl.free.fr/pdf/pbsup/pb010.pdf. Sinon, il y quatorze preuves différentes de cette égalité à cette adresse : http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta.../etc/zeta2.pdf.

[A voir en vidéo sur Futura]

[aureo91]

je jette un coup d'oeil merci !

[aureo91]

Je bloque un peu quand même, j'ai pas vu les double integrale et comprend pas l'utilisation des fonction inverse de sinusdans l'exemple 3 du deuxième lien. Je pense qu'il doit y avoir une methode autre que celles ci ...

[Seirios]

La méthode utilisant le moins de prérecquis est celle détaillée dans le premier lien, je ne pense pas qu'il y ait plus simple.

[aureo91]

Ok, donc pour la question 1 : etudiez la monotonie de la suite Sn , que dois je faire ? c'est une série pas une suite ...
Je dois poser Sn+1 / Sn et étudier si le resultat est infèrieur ou supèrieur à 1 ?

[inviteea028771]

Je dois poser Sn+1 / Sn et étudier si le resultat est infèrieur ou supèrieur à 1 ?

Je te conseillerai plutôt d'étudier Sn+1 - Sn

[aureo91]

Donc en faisant Sn+1-Sn je fini par trouvé que c'est égal à [ 1 / (n+1 )² ] - 1 qui est forcement plus petit que 0 pour tout N supérieur à 1 ce qui implique donc que la suite Sn+1-Sn est décroissante.

Maintenant, je ne vois pas comment prouvé la question 2a de ce poly du moins comment commencer ?

[inviteea028771]

Déjà ça commence mal, puisque Sn est croissante (c'est une série de termes positifs)...



Pour la question 2a), il suffit de majorer et minorer pour

[aureo91]

j'ai trouvé ca, mais pourquoi est elle croissant. si tu fais tendre n vers +00 c'est décroissant. ou alors on raisonne dans le cas de la série ? au quel cas toujours rajouté un peu fait qu'elle est croissante ?

[Seirios]

Il ne faut pas confondre suite et série : est une suite, est une série.