Bonjour à tous,
Je viens vous voir car j'ai un problème sur un exo de maths (je suis en L2), le voici :
Tout sous-groupe dede type fini (c'est à dire engendré par un nombre fini d'éléments) est de la forme r
Si quelqu'un pouvait m'aider (indications, indice), ça serait gentil ^^
(J'ai essayé certaines choses, mais j'arrive pas à aller loin du tout dans le raisonnement...)
Merci beaucoup !
indication: ça revient à réduire un nombre fini de rationnels au même dénominateur.
C'était peut-être plus simple que ce que je pensais, alors(enfin, si je me trompe pas là !)
Soit
Il est bien de type fini. Vu que ce sont des rationnels, on peut les écrire sous la forme :
On met sur le même dénominateur, on obtient :
On prend donc
C'est l'idée
Merci beaucoup alors
Attention, avec vos calculs, vous allez trouver que <2, 4> = <1> ce qui est faux.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Comment ça ? Je ne vois pas trop où est le problème...
J'ai peut-être pas tout compris, je peux avoir un peu d'explications ?
Si j'applique votre méthode je trouve <2, 4> = <1> alors que <2, 4> = <2>
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Admettons, cependant, je ne vois pas où j'ai pu fait une erreur et de quel type. Est-ce juste une erreur de calculs, une erreur de logique ?
Je penche pour une erreur de logique, ce qui expliquerait pourquoi je ne comprends pas
Une âme charitable pour me remettre sur la bonne voie ?
Le groupe que tu obtiens avec ton raisonnement contient le groupe engendré, mais n'est pas égal au groupe
Si tu prends par exemple 1/2 et 1/4, tu génères (1/4)Z et non (1/8)Z
De même, si tu prends par exemple 2 et 4, tu génères (2)Z et non Z
Et avec 6/35 et 10/21, tu génères (2/105)Z et non (1/735)Z
Il y a du PGCD et du PPCM dans l'air
(j'avais joyeusement zappé ça lors de ma réponse précédente)
c'est que dans l'expression "réduire au même dénominateur" il y a "réduire" qui suppose un peu plus que faire le produit des dénominateurs.
Je me sens vraiment nul sur ce coup là...
Et je vais peut-être dire une grosse connerie --'
Alors voilà, si on considère juste
J'obtiens donc
Voilà ce que j'ai. J'espère ne pas me tromper...
En tout cas, merci beaucoup !
Edit : en fait, si je me trompe. Mais j'ai un peu de mal, help !! ^^
Je reprends sur une autre piste :
Soit G un sous-groupe de
On a
On note
On obtient donc
On peut aller plus loin : Si
Voilà, je pense que c'est beaucoup mieux là. Je me trompe ?
J'ai pas tout lu, mais voici ma démonstration :
Si G = rZ, alors c'est évident que c'est un sous groupe de Q
Pour la réciproque, je te donne l'exemple du cas de deux rationnels p1/q1 et p2/q2, le cas de n rationnels s'en déduit facilement :
chaque nombre de la forme a(p1/q1)+b(p2/q2) peut s'écrire de la forme (ap1q2+bp2q1) / q1q2. Si p1q2 et p2q1 sont premiers entre eux, alors d'après Bézout pour tout nombre k de Z il existe a et b tel que ap1q2+bp2q1=k donc G=1/q1q2Z. (il faut aussi préciser que tout nombre qui ne s'écrit pas de la forme k/q1q2 n'appartient pas à G pour être complet, mais c'est évident).
Si PGCD (p1q2, p2q1) = d, alors G= (d/q1q2)Z, et tout nombre qui s'écrit x/q1q2 ne peut appartenir à G car si il l'était celà contredirait le théorème de Bézout.
Pour n rationnels on utilise le théorème de Bézout généralisé.
Voilà je pense !
petite erreur : je voulais dire "tout nombre qui s'écrit x/q1q2 avec x non multiple de d ne peut appartenir à G" bien sûr.
