[Probas] jeu de 32 cartes

[invitefe348c23]

Bonsoir à tous.
Déjà, comme je suis nouveau ici, je me présente : William, j'ai 20 ans et je suis en 2ème année de fac de Mesures Physiques.
J'ai un niveau généralement correct en Maths, mais catastrophique dans le domaine des probas...
Je suis en fac donc je post ici, mais je ne pense pas que mes maths soient très poussées
Je ne demande pas des réponses immédiates, j'ai besoin de comprendre la logique des probas, même celles de bases, qui m'ont toujours parues obscures, et j'espère donc obtenir de l'aide ici

Voici le problème :

On tire Simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes.

1) Décrire Ω et calculer card(Ω).
2) Calculer la probabilité de tirer un carré (4as, 4rois, ...).
3) Calculer la probabilité de tirer exactement un coeur.
4) Calculer la probabilité de tirer au moins un coeur.
5) Calculer la probabilité de tirer exactement deux as et deux rois ou exactement deux as et deux dames.
6) Calculer la probabilité de tirer exactement un as et deux carreaux.


Déjà, ça à l'air d'être du tirage sans remise dont on ne se préoccupe pas de l'ordre.
pour la 1), j'ai donc pensé à :

card (Ω) = C⁵₃₂
= 32! / 3! X 9!

Peut-on aller plus loin ? Je ne vois pas comment, a part en compliquant la fraction avec des 32 X 31 X 30 X 29...

Pour la 2), ça y est, je suis déjà paumé.

Il y a 8 "familles" de 4 cartes, donc au début 4 chances sur 32, puis 3 chances sur 31, etc

On aurais donc : (4 / 32) X (3 / 31) X (2 / 30) X (1 / 29) chances que ça se produise non ? Sauf qu'on tire 5 cartes, et là je suis perdu... Quelqu'un pourrait me donner des indications SVP ?

Merci d'avance.
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[inviteea028771]

Pour la première tu as oublié le plus important : décrire l'univers.

Ici on peut le décrire de cette façon là :



Ou de cette façon là :



Dans les deux cas, tu aura un cardinal différent.

Vu le cardinal que tu proposes, tu as choisi la première modélisation. C'est en effet la plus efficace dans ce cas et dans ce cas ton cardinal est correct. Tu dois aussi préciser que tout les événements élémentaires sont équiprobables (pour pouvoir utiliser P(E) = Card(E)/Card(Omega) )


Pour la question 2 voici, écrit avec des mots, le cardinal de ton événement (à toi de le traduire en formule):
Choisir une main avec un carré, c'est choisir un type de carré parmi 8, puis une carte parmi les 28 restantes

Pour la question 3, c'est :
Choisir une carte parmi les 8 coeur, puis 4 cartes parmi les 24 non-coeur

Pour la question 4, le plus simple c'est de calculer l’événement complémentaire "ne tirer aucun coeur", et d'utiliser la formule P(E) = 1-P(complementaire(E))

Pour la question 5, il faut calculer séparément "tirer exactement deux as et deux rois" et "tirer exactement deux as et deux dames", et de remarquer que l'intersection de ces deux événements est vide, donc Card(AUB) = Card(A)+Card(B)

Pour la question 6, il faut distinguer 2 cas : l'as est l'as de carreau, ou l'as n'est pas l'as de carreau (c'est la question la plus délicate)

[invitefe348c23]

Merci de ta réponse !

Déjà, dans la 1), je ne comprends pas la partie de 1<c1<c2<c3<c4<c5<52
Ca signifie que le tirage est sans remises ? Je ne comprends pas pourquoi l'indice 1ère carte tirée serait forcément inférieure a la suivante ?

C'est vraiment gentil à toi de vouloir m'éclaircir en m'écrivant mes cardinaux en français, mais tu dois avoir une logique différente de la mienne, je ne vois pas du tout où tu veux en venir dans le raisonnement que tu utilises à chaque exemple : "Choisir une main avec un carré, c'est choisir un type de carré parmi 8, puis une carte parmi les 28 restantes" ?

Ca veut dire que la proba serait de (1 / 8) X (1 / 28) ? J'aimerais que tu m'expliques (juste pour cet exemple vu que tu raisonnes pareil ensuite), car je ne vois pas en quoi viennent s'introduire les cartes restantes, je ne vois pas non plus pourquoi ça serait lié directement avec le type de carré choisi ?

Je ne mets pas de la mauvaise volonté en voulant obtenir des réponses directement, je voudrais juste savoir comment tu as pensé pour m'écrire ce cardinal.

Merci

[inviteea028771]

Déjà, dans la 1), je ne comprends pas la partie de 1<c1<c2<c3<c4<c5<52
Ca signifie que le tirage est sans remises ? Je ne comprends pas pourquoi l'indice 1ère carte tirée serait forcément inférieure a la suivante ?

En fait c'est inutile, il faut juste que les cartes soient différents (donc la même condition que pour la seconde modélisation). Ça aurai été nécessaire si au lieu d'un ensemble j'avais utilisé un n-uplet. Désolé pour la confusion

C'est vraiment gentil à toi de vouloir m'éclaircir en m'écrivant mes cardinaux en français, mais tu dois avoir une logique différente de la mienne, je ne vois pas du tout où tu veux en venir dans le raisonnement que tu utilises à chaque exemple : "Choisir une main avec un carré, c'est choisir un type de carré parmi 8, puis une carte parmi les 28 restantes" ?

Il faut bien voir qu'ici on va utiliser la formule

Dans la question 1, tu as calculé , reste à calculer pour obtenir la probabilité recherchée.

Et il y a façons de choisir k trucs parmi n.

Donc il y a façons de choisir k trucs parmi n et p bidules parmi q.

Ainsi il y a façons de choisir "un type de carré parmi 8 et une carte parmi les 28 autres"

Donc le cardinal de l’événement "obtenir un carré" est 224. La probabilité de l’événement est alors

je ne vois pas en quoi viennent s'introduire les cartes restantes, je ne vois pas non plus pourquoi ça serait lié directement avec le type de carré choisi ?

Prends toutes les mains possibles qui ont un carré.

Tu peux les découper en 8 groupes : chaque groupe est un type de carré différent (le groupe des carré d'as, le groupe des carré de rois...)

Dans chaque groupe, ce qui différencie les mains est la dernière carte, qui est une figure différente des cartes du carré. Il y en a à chaque fois 28 différentes, donc 28 mains dans chaque groupe.

Ainsi, il y a au total 28*8 = 224 mains différentes qui ont un carré.

Je ne mets pas de la mauvaise volonté en voulant obtenir des réponses directement, je voudrais juste savoir comment tu as pensé pour m'écrire ce cardinal.

Pas de soucis

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefe348c23]

J'y vois beaucoup plus clair, merci !

Donc, si j'avais eu juste des mains de 4 cartes, j'aurais eu simplement un cardinal de , soit 8 ?

Et si j'avais eu des mains de 6 cartes, ça m'aurais alors fait un cardinal de , soit 8 X 756 = 6048 ?

[inviteea028771]

C'est exact, sauf que et non 756 (tu as du oublier un 2! au dénominateur)

[invitefe348c23]

C'est exact, sauf que et non 756 (tu as du oublier un 2! au dénominateur)

Ahah oui

Tu m'as été d'une grande aide, je te dis demain si j'ai rencontré d'autres problèmes, mais normalement ça devrait aller, merci beaucoup !

[invitefe348c23]

J'ai tout fini, merci encore !

Mais une dernière chose me turlupine :

Pour la question 4, le plus simple c'est de calculer l’événement complémentaire "ne tirer aucun coeur", et d'utiliser la formule P(E) = 1-P(complementaire(E))

Avec cette méthode, aucun soucis je trouve un résultat cohérent.

Cependant, je ne comprends pas pourquoi ça ne marche pas avec ma technique, elle consiste à dire "On tire un coeur parmi les 8, et on tire 4 autres cartes parmi les 31 restantes"

Ca me fat Card(E) = = 8 X 31 ! / 4! X 27! = 8 X 31465 = 251720

Et 251720 est supérieur à mon Ω qui est de 201376.

pourrais-tu me dire quelle est l'incohérence dans mon calcul ?

[inviteea028771]

En faisant ça, tu comptes plusieurs fois les mêmes tirages. Par exemple tu comptes 5 fois le tirage (Ah Kh Qh Jh Th), une première fois en fixant l'as dans le choix parmi 8, une seconde fois en fixant le roi dans ce même choix... et une cinquième fois en fixant le 10 dans le choix parmi 8.

La bonne façon de compter serrait d'additionner :
- le nombre de façon de tirer un coeur et 4 non coeur
- le nombre de façon de tirer 2 coeur et 3 non coeur
- le nombre de façon de tirer 3 coeur et 2 non coeur
- le nombre de façon de tirer 4 coeur et 1 non coeur
- le nombre de façon de tirer 5 coeur

C'est à dire :

[invitefe348c23]

Ah bah oui bien sûr !
Merci