Récréation arithmétique avec Fermat

[AIB]

Bonjour et bonne lecture.
**
Récréation arithmétique avec Fermat :
L’égalité (1) ,
où x, y, z et n sont des entiers positifs, avec z>y>x, implique
l’égalité (2) qui est impossible pour n>2 et où u, v, k, n sont des entiers positifs.
De même l’égalité (3) ,
où x, y, z et n sont des entiers positifs, avec z>y>x, implique
l’égalité (4) qui est impossible pour n>2 et où u, v, k, n sont des entiers positifs.

Et par suite, l’égalité (5) , où x, y, z et n sont des entiers positifs, équivalente aux égalités (1) et (3), est impossible pour n>2.
http://happy-arabia.net/Fermat.pdf

Théorème de Fermat-Wiles (1994) :
L’égalité , où x, y, z et n sont des entiers, est impossible pour n>2.
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

Ahmed IDRISSI BOUYAHYAOUI
INPI - Paris
**

Cordialement
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[invite4492c379]

Bonjour et bonne lecture.
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Récréation arithmétique avec Fermat :
L’égalité (1) ,
où x, y, z et n sont des entiers positifs, avec z>y>x, implique
l’égalité (2) qui est impossible pour n>2 et où u, v, k, n sont des entiers positifs.
(...)

2³+2³=2⁴, u=v=2 n=3>2 k=4

ou me trompe-je ?

[AIB]

Oui, vous avez raison, j'ai omis de préciser que u et v sont impairs (si nécessaire aprés division par 2^m)comme c'est indiqué dans le pdf.

[invite4492c379]

Je dirais que c'est très confus, je ne suis pas un pro. De plus il n'y a pas de formalisme cohérent, par exemple un qui devient en binaire est carrément douteux ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[AIB]

Avec x/y < 1 et a = x/y , en général .

Donc dans l'état, l'essai de démonstration est un échec.
Mais je pense que l'idée n'est pas totalement mauvaise.

[AIB]

Bonjour

Je corrige mon erreur de la veille :

(5) 1.0000 …. 0000 = (0.a)^n + (0.b)^n
et
(6) 1.00000000 …. = (0.a)^n + (0.b)^n .
Avec la conservation des zéros de tête. le cadrage à gauche et l’effacement du point décimal , ces deux égalités deviennent :
(7) 10000 …. 0000 = (0a)^n + (0b)^n
et
(8) 100000000 …. = (0a)^n + (0b)^n ,
Le développement décimal binaire de l’unité 1=11(1/11)=0.111 … montre que (0a)n et (0b)n sont complémentaires et l’on a :
(0a)^n = 00a’ et (0b)^n = 01b’ puisque 0.b = z/y > 0.1 , et
a’ + b’ = 111 …. 11 ou 11111 ….. .

http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

[AIB]

Correctif du corrigé ci-dessus :


Bonjour

Je corrige mon erreur de la veille :

(5) 1.0000 …. 0000 = (0.a)^n + (0.b)^n
et
(6) 1.00000000 …. = (0.a)^n + (0.b)^n .
Avec la conservation des zéros de tête. le cadrage à gauche et l’effacement du point décimal , ces deux égalités deviennent :
(7) 10000 …. 0000 = (0a)^n + (0b)^n
et
(8) 100000000 …. = (0a)^n + (0b)^n ,
Le développement décimal binaire de l’unité 1=11(1/11)=0.111 … montre que (0a)n et (0b)n sont complémentaires (sans la première position) et l’on a :
(0a)^n = 00a’ et (0b)^n = 01b’ puisque 0.b = y/z > 0.1 , et
a’ + b’ = 111 … 11 ou 11111 ….. .

http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

[AIB]

Bonjour,
Je souhaite avoir l’avis d’un mathématicien sur ce qui suit :

L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n , (en binaire) x, y, z, n entiers >0 et z>y>x,
peut s’écrire :
(3) 1 = (1.a)^n - (0.b)^n = (1a/(10)^d)^n - (0b/(10)^d)^n
où 10 est 2 en binaire et d est la longueur de décalage, d est un entier qui peut être infini.
Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même longueur et s’ils sont infinis, ils sont nécessairement périodiques à partir d’un certain rang.
De l’égalité (3), on obtient
(4) (10)^(d*n) = (1a)^n - (0b)^n ,
et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique :
(5) 2^k = u^n – v^n , où u, v, k et n sont des entiers positifs et n>2 .
Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête.
Ces zéros sont significatifs.

http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

[Médiat]

Sans analyser en détail, deux petites choses me sautent aux yeux :

L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n , (en binaire)

Que veux dire "en binaire" ? Une égalité entre entiers est indépendante de la base dans laquelle on pourrait les écrire.

d est un entier qui peut être infini.

C'est quoi un entier infini ?

[Médiat]

Après lecture plus attentive, vous démontrez que si y est une puissance de 2 (y = 2^k), si 1 = (z/y)ⁿ - (x/y)ⁿ alors 2^kn = zⁿ - xⁿ.
C'est pas faux, mais ce ne mène pas bien loin.

Notez que vous n'avez rien démontré dans le cas où le développement binaire est infini.

[AIB]

Bonsoir/Bonjour,

En réponse à vos questions, je donne ci-après un extrait du pdf et je précise que les calculs sont en binaire.

(extrait)

L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n peut s’écrire :

(3) 1 = (1.a)^n - (0.b)^n = (1a/(10)^d)^n - (0b/(10)^d)^n
où 10 est 2 en binaire et d est la longueur du décalage binaire.
Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même longueur et s’ils sont illimités, ils sont nécessairement périodiques à partir d’un certain rang.
Avec 1a = 1a1a2a3 …. et 0b = 0b1b2b3 … suites limitées ou illimitées, d = 1, 2, 3, …. longueur de a
(et de b), d est tel que limite 1a/(10^d)=1.a et limite 0b/(10^d)=0.b .

De l’égalité (3), on obtient
(4) (10)^dn = (1a)^n - (0b)^n ,
où (1a)^n et (0b)^n sont des puissances entières nièmes et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique :

(5) 2^k = u^n - v^n , où u, v, k et n sont des entiers positifs.
Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête.
Ces zéros sont significatifs.

L’égalité 2^k = u^n - v^n est impossible pour n>2 .

Cordiallement

www.happy-arabia.net/Fermat.pdf

[Tryss]

Vous ne répondez toujours pas à ce qui se passe lorsque le développement binaire de z/y ou x/y est infini.

a et b n'ont alors pas de signification, ce ne sont pas des nombres entiers en tout cas.

[AIB]

Tout est dit dans ma réponse à Médiat (voir ci-dessus) .

Les nombres a et b sont bien des nombres entiers de longueur limitée ou illimitée.

ex : 1/3 = 0.333333333 ...... , 333333333 ...... est un nombre entier illimité, un élément de N .

Si les nombres entiers (€ N) avaient une longueur bornée, N serait un ensemble fini et 2^aleph0 serait un élément de N.

[Tryss]

333333333 ...... est un nombre entier illimité, un élément de N

Ceci est grossièrement faux. Tout les éléments de N sont de longueur finie.

Si il existait des éléments de de longueur infini, alors
On aurai donc :



C'est à dire :

[AIB]

Et si vous accollez un chiffre à ces nombres entiers de longueur finie, vous obtenez quoi ?

[Médiat]

Tout est dit dans ma réponse à Médiat (voir ci-dessus) .

Je ne vois aucune réponse à mes questions !
Et je réaffirme que vous n'avez rien démontré dans le cas où le développement binaire est illimité, c'est à dire dans le cas où y n'est pas de la forme 2^k. (x et y étant premiers entre eux).

[Médiat]

Et si vous accollez un chiffre à ces nombres entiers de longueur finie, vous obtenez quoi ?

Un nombre entier (donc de "longueur finie")

[invite986312212]

Si les nombres entiers (€ N) avaient une longueur bornée, N serait un ensemble fini et 2^aleph0 serait un élément de N.

tu confonds "borné" et "fini"

[AIB]

Bonsoir/Bonjour,

@Médiat

Le développement décimal binaire limité et le développement décimal binaire illimité ont le même traitement car il n’y a pas de différence fondamentale. On obtient la même forme pour l’égalité générique.
Je redonne, avec quelques précisions, un extrait du pdf (http://happy-arabia.net/Fermat.pdf) :

z^n = x^n + y^n et z>y>x == > 1< z/y <2 et 0< x/y <1
1< z/y <2 == > z/y = 1.a et x/y = 0.b
où a et b sont des entiers (ϵ N) de longueur limitée ou illimitée.

L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n peut s’écrire :

(3) 1 = (1.a)^n - (0.b)^n = (1a/(10)^d)^n - (0b/(10)^d)^n
où 10 est 2 en binaire et d est la longueur du décalage binaire.
Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même longueur et s’ils sont illimités, ils sont nécessairement périodiques à partir d’un certain rang.
Avec 1a = 1a1a2a3 …. et 0b = 0b1b2b3 … suites limitées ou illimitées, d = 1, 2, 3, …. longueur de a (et de b), d est tel que limite 1a/(10^d)=1.a et limite 0b/(10^d)=0.b .

L’égalité (3) étant de la forme 1 = (r/(10)^m)^n - (s/(10)^m)^n , on obtient
(4) 10^k = r^n – s^n,
où r, s, m, n, k=m*n sont des entiers positifs et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique :
(5) 2^k = u^n - v^n , où u, v, k et n sont des entiers positifs.
Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête.
Ces zéros sont significatifs.

L’égalité 2^k = u^n - v^n est impossible pour n>2 .
**

Définitions :
Entier naturel = suite de chiffres de la base 10.
Cette suite peut être finie (limitée) ou infinie (illimitée) .

@TRYSS

c ϵ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
on pose n : = c , n est un nombre entier de longueur = 1,
puis on itère le processus n : = nc , concaténations successives.
Question : à quelle étape du processus, n n’est plus un nombre entier ?

Qu’est-ce que c’est un nombre entier infini de longueur finie ?
(Dans ses écrits, Cantor parle des nombres entiers infinis)

Cordialement

http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

[Médiat]

Répéter inlassablement (sans répondre à mes questions précises) la même chose ne la rend pas vraie. Vous vous trompez, même dans la compréhension des nombres entiers.

Je vous souhaite de ne pas perdre votre enthousiasme pour les mathématiques et pour ce problème en particulier, mais vous devriez vraiment commencer par les bases.

[AIB]

Bonsoir,

Je croyais que j'avais répondu à vos questions.

Je vous propose la réponse centrée sur la question essentielle (développement décimal binaire) :

Avec x, y, z, n, b (b pouvant tendre vers l'infini) des entiers positifs, a et b entiers binaires de longueur illimitée,
et (z'/y') = 1.a et (x'/y') = 0.b où x', y', z' sont les équivalents binaires de x, y, z.

On a qui peut s’écrire :

ou
où 10 est 2 en binaire et d est la longueur du décalage binaire.

limite et limite lorsque b tend vers l'infini.

est de la forme ,

où r, s, et m sont des entiers positifs.

Cordialement

[invite4492c379]

Ce que Mediat tente de vous faire comprendre est que :
1. Vous ne confondez notation et nombre
Dans notre système positionnel parler d'un nombre qui a un développement infini à gauche est impossible sans changer ce que vous entendez par notation.
Un exemple tout simple est le suivant, en reprenant vos expérimentations :

Partons de 5, élevons le carré. On obtient 25. Continuons jusqu'au bout.
25
625
390625
152587890625
...
On voit clairement que ça converge vers un nombre infini à gauche qui apparemment termine par 90625, appelons le ifni5. Or ce nombre aura la propriété d'être égal à son carré. Conclusion, le polynôme P(x)=x²-x admet au moins trois racines réelles, 0,1 et ifni5 donc le théorème qui énonce qu'un polynome de degré n a au plus n racines réelles est faux.

2. Une notation décimale binaire n'existe pas, à moins d'en donner un définition.

[AIB]

Bonsoir/Bonjour

Vous avez raison pour le 2) , quant au 1) j'avoue que je ne vois pas ou j'ai pu mentionner ces notions par contre j'ai fait allusion au calcul à point (décimal ?) fixe : le cadrage à gauche et non développement à gauche.

L'essentiel est dans le message qui précéde immédiatement le votre. Si vous pouvez y jeter un coup d'oeil.

Cordialement

[Médiat]

Comme vous semblez ne pas tenir compte des remarques qui vous sont faites, j'ai peur que vous ne progressiez plus.
Je fais un dernier essai : calculez votre "d" dans le cas z = 5 et y = 3.

[AIB]

Bonjour,

données : z = 5 , y = 3

5/3 = 1.6666 ......
a = 6666 ......
1a = 16666 ......



limite quand d (entier positif) tend vers l'infini.

a étant un nombre de longueur infinie, d est l'indice "extrême" de l'élément "extrême" { } de a.

Le mot "extrême", c'est seulement pour donner une image.


Cordialement

[invite986312212]

5/3 = 1.6666 ......
a = 6666 ......
1a = 16666 ......

on peut écrire ce genre de choses , pourquoi pas? mais il ne faut pas dire que a est un nombre. C'est une suite de symboles <je me demande si c'est la suite "1" suivi d'une infinité de "6" , ou bien la suite "1" suivi de quatre "6" suivi d'un espace et de six "." >

par contre je ne vois pas bien ce que ça apporte mathématiquement parlant.

[Médiat]

Bonjour,

d est l'indice "extrême" de l'élément "extrême" { } de a.

Je vous ai donné des valeurs numérique, donc je voudrais que vous me disiez à quoi est égal votre d, sa valeur numérique exacte et vous n'avez pas répondu à cette question.

[AIB]

1) pour les notations, il faut tenir compte du contexte.

2) d (entier positif) tend vers l'infini

3) et , où d (entier positif) tendant vers l'infini, sont respectivement de la forme générique et ,
où r, s et m sont des entiers positifs.

Pour moi, le 3) est le seul point déterminant quant à la vérité de la preuve. Peut être je me trompe.

[Médiat]

Donc vous ne savez pas calculer ce fameux d (et pour cause) qui est pourtant la pierre angulaire de votre démonstration ...

Une information que vous devriez méditer : en supposant que z/y et y/x sont des réels et non des rationnels, vous allez trouver un d "qui tend vers l'infini" comme vous dites, vous pourrez donc à nouveau écrire votre équation dont vous déduirez que xⁿ + yⁿ = zⁿ n'a pas de solution pour x, y et z réels et n > 2 !

[AIB]

Quel est votre avis sur le point 3) :

3) et , où d (entier positif) tend vers l'infini, sont respectivement de la forme générique et ,
où r, s et m sont des entiers positifs. (r, s et m peuvent tendre vers l'infini)