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Récréation arithmétique avec Fermat



  1. #1
    AIB

    Récréation arithmétique avec Fermat


    ------

    Bonjour et bonne lecture.
    **
    Récréation arithmétique avec Fermat :
    L’égalité (1) ,
    où x, y, z et n sont des entiers positifs, avec z>y>x, implique
    l’égalité (2) qui est impossible pour n>2 et où u, v, k, n sont des entiers positifs.
    De même l’égalité (3) ,
    où x, y, z et n sont des entiers positifs, avec z>y>x, implique
    l’égalité (4) qui est impossible pour n>2 et où u, v, k, n sont des entiers positifs.

    Et par suite, l’égalité (5) , où x, y, z et n sont des entiers positifs, équivalente aux égalités (1) et (3), est impossible pour n>2.
    http://happy-arabia.net/Fermat.pdf

    Théorème de Fermat-Wiles (1994) :
    L’égalité , où x, y, z et n sont des entiers, est impossible pour n>2.
    http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

    Ahmed IDRISSI BOUYAHYAOUI
    INPI - Paris
    **

    Cordialement

    -----

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  3. #2
    photon57

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    Bonjour et bonne lecture.
    **
    Récréation arithmétique avec Fermat :
    L’égalité (1) ,
    où x, y, z et n sont des entiers positifs, avec z>y>x, implique
    l’égalité (2) qui est impossible pour n>2 et où u, v, k, n sont des entiers positifs.
    (...)
    2³+2³=2⁴, u=v=2 n=3>2 k=4

    ou me trompe-je ?

  4. #3
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Oui, vous avez raison, j'ai omis de préciser que u et v sont impairs (si nécessaire aprés division par 2^m)comme c'est indiqué dans le pdf.

  5. #4
    photon57

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Je dirais que c'est très confus, je ne suis pas un pro. De plus il n'y a pas de formalisme cohérent, par exemple un qui devient en binaire est carrément douteux ...

  6. #5
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Avec x/y < 1 et a = x/y , en général .

    Donc dans l'état, l'essai de démonstration est un échec.
    Mais je pense que l'idée n'est pas totalement mauvaise.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonjour

    Je corrige mon erreur de la veille :

    (5) 1.0000 …. 0000 = (0.a)^n + (0.b)^n
    et
    (6) 1.00000000 …. = (0.a)^n + (0.b)^n .
    Avec la conservation des zéros de tête. le cadrage à gauche et l’effacement du point décimal , ces deux égalités deviennent :
    (7) 10000 …. 0000 = (0a)^n + (0b)^n
    et
    (8) 100000000 …. = (0a)^n + (0b)^n ,
    Le développement décimal binaire de l’unité 1=11(1/11)=0.111 … montre que (0a)n et (0b)n sont complémentaires et l’on a :
    (0a)^n = 00a’ et (0b)^n = 01b’ puisque 0.b = z/y > 0.1 , et
    a’ + b’ = 111 …. 11 ou 11111 ….. .

    http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

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  10. #7
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Correctif du corrigé ci-dessus :


    Bonjour

    Je corrige mon erreur de la veille :

    (5) 1.0000 …. 0000 = (0.a)^n + (0.b)^n
    et
    (6) 1.00000000 …. = (0.a)^n + (0.b)^n .
    Avec la conservation des zéros de tête. le cadrage à gauche et l’effacement du point décimal , ces deux égalités deviennent :
    (7) 10000 …. 0000 = (0a)^n + (0b)^n
    et
    (8) 100000000 …. = (0a)^n + (0b)^n ,
    Le développement décimal binaire de l’unité 1=11(1/11)=0.111 … montre que (0a)n et (0b)n sont complémentaires (sans la première position) et l’on a :
    (0a)^n = 00a’ et (0b)^n = 01b’ puisque 0.b = y/z > 0.1 , et
    a’ + b’ = 111 … 11 ou 11111 ….. .

    http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

  11. #8
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonjour,
    Je souhaite avoir l’avis d’un mathématicien sur ce qui suit :

    L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n , (en binaire) x, y, z, n entiers >0 et z>y>x,
    peut s’écrire :
    (3) 1 = (1.a)^n - (0.b)^n = (1a/(10)^d)^n - (0b/(10)^d)^n
    où 10 est 2 en binaire et d est la longueur de décalage, d est un entier qui peut être infini.
    Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même longueur et s’ils sont infinis, ils sont nécessairement périodiques à partir d’un certain rang.
    De l’égalité (3), on obtient
    (4) (10)^(d*n) = (1a)^n - (0b)^n ,
    et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique :
    (5) 2^k = u^n – v^n , où u, v, k et n sont des entiers positifs et n>2 .
    Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête.
    Ces zéros sont significatifs.

    http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

  12. #9
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Sans analyser en détail, deux petites choses me sautent aux yeux :

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n , (en binaire)
    Que veux dire "en binaire" ? Une égalité entre entiers est indépendante de la base dans laquelle on pourrait les écrire.

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    d est un entier qui peut être infini.
    C'est quoi un entier infini ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Après lecture plus attentive, vous démontrez que si y est une puissance de 2 (y = 2k), si 1 = (z/y)n - (x/y)n alors 2kn = zn - xn.
    C'est pas faux, mais ce ne mène pas bien loin.

    Notez que vous n'avez rien démontré dans le cas où le développement binaire est infini.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonsoir/Bonjour,

    En réponse à vos questions, je donne ci-après un extrait du pdf et je précise que les calculs sont en binaire.

    (extrait)

    L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n peut s’écrire :

    (3) 1 = (1.a)^n - (0.b)^n = (1a/(10)^d)^n - (0b/(10)^d)^n
    où 10 est 2 en binaire et d est la longueur du décalage binaire.
    Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même longueur et s’ils sont illimités, ils sont nécessairement périodiques à partir d’un certain rang.
    Avec 1a = 1a1a2a3 …. et 0b = 0b1b2b3 … suites limitées ou illimitées, d = 1, 2, 3, …. longueur de a
    (et de b), d est tel que limite 1a/(10^d)=1.a et limite 0b/(10^d)=0.b .

    De l’égalité (3), on obtient
    (4) (10)^dn = (1a)^n - (0b)^n ,
    où (1a)^n et (0b)^n sont des puissances entières nièmes et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique :

    (5) 2^k = u^n - v^n , où u, v, k et n sont des entiers positifs.
    Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête.
    Ces zéros sont significatifs.

    L’égalité 2^k = u^n - v^n est impossible pour n>2 .

    Cordiallement

    www.happy-arabia.net/Fermat.pdf

  15. #12
    Tryss

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Vous ne répondez toujours pas à ce qui se passe lorsque le développement binaire de z/y ou x/y est infini.

    a et b n'ont alors pas de signification, ce ne sont pas des nombres entiers en tout cas.

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  17. #13
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Tout est dit dans ma réponse à Médiat (voir ci-dessus) .

    Les nombres a et b sont bien des nombres entiers de longueur limitée ou illimitée.

    ex : 1/3 = 0.333333333 ...... , 333333333 ...... est un nombre entier illimité, un élément de N .

    Si les nombres entiers (€ N) avaient une longueur bornée, N serait un ensemble fini et 2^aleph0 serait un élément de N.

  18. #14
    Tryss

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    333333333 ...... est un nombre entier illimité, un élément de N
    Ceci est grossièrement faux. Tout les éléments de N sont de longueur finie.

    Si il existait des éléments de de longueur infini, alors
    On aurai donc :



    C'est à dire :


  19. #15
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Et si vous accollez un chiffre à ces nombres entiers de longueur finie, vous obtenez quoi ?

  20. #16
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    Tout est dit dans ma réponse à Médiat (voir ci-dessus) .
    Je ne vois aucune réponse à mes questions !
    Et je réaffirme que vous n'avez rien démontré dans le cas où le développement binaire est illimité, c'est à dire dans le cas où y n'est pas de la forme 2k. (x et y étant premiers entre eux).
    Dernière modification par Médiat ; 21/09/2011 à 04h34.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    Et si vous accollez un chiffre à ces nombres entiers de longueur finie, vous obtenez quoi ?
    Un nombre entier (donc de "longueur finie")
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    invite986312212
    Invité

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    Si les nombres entiers (€ N) avaient une longueur bornée, N serait un ensemble fini et 2^aleph0 serait un élément de N.
    tu confonds "borné" et "fini"

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  24. #19
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonsoir/Bonjour,

    @Médiat

    Le développement décimal binaire limité et le développement décimal binaire illimité ont le même traitement car il n’y a pas de différence fondamentale. On obtient la même forme pour l’égalité générique.
    Je redonne, avec quelques précisions, un extrait du pdf (http://happy-arabia.net/Fermat.pdf) :

    z^n = x^n + y^n et z>y>x == > 1< z/y <2 et 0< x/y <1
    1< z/y <2 == > z/y = 1.a et x/y = 0.b
    où a et b sont des entiers (ϵ N) de longueur limitée ou illimitée.

    L’égalité (2) 1 = (z/y)^n - (x/y)^n peut s’écrire :

    (3) 1 = (1.a)^n - (0.b)^n = (1a/(10)^d)^n - (0b/(10)^d)^n
    où 10 est 2 en binaire et d est la longueur du décalage binaire.
    Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même longueur et s’ils sont illimités, ils sont nécessairement périodiques à partir d’un certain rang.
    Avec 1a = 1a1a2a3 …. et 0b = 0b1b2b3 … suites limitées ou illimitées, d = 1, 2, 3, …. longueur de a (et de b), d est tel que limite 1a/(10^d)=1.a et limite 0b/(10^d)=0.b .

    L’égalité (3) étant de la forme 1 = (r/(10)^m)^n - (s/(10)^m)^n , on obtient
    (4) 10^k = r^n – s^n,
    où r, s, m, n, k=m*n sont des entiers positifs et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique :
    (5) 2^k = u^n - v^n , où u, v, k et n sont des entiers positifs.
    Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête.
    Ces zéros sont significatifs.

    L’égalité 2^k = u^n - v^n est impossible pour n>2 .
    **

    Définitions :
    Entier naturel = suite de chiffres de la base 10.
    Cette suite peut être finie (limitée) ou infinie (illimitée) .

    @TRYSS

    c ϵ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
    on pose n : = c , n est un nombre entier de longueur = 1,
    puis on itère le processus n : = nc , concaténations successives.
    Question : à quelle étape du processus, n n’est plus un nombre entier ?

    Qu’est-ce que c’est un nombre entier infini de longueur finie ?
    (Dans ses écrits, Cantor parle des nombres entiers infinis)

    Cordialement

    http://happy-arabia.net/Fermat.pdf
    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

  25. #20
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Répéter inlassablement (sans répondre à mes questions précises) la même chose ne la rend pas vraie. Vous vous trompez, même dans la compréhension des nombres entiers.

    Je vous souhaite de ne pas perdre votre enthousiasme pour les mathématiques et pour ce problème en particulier, mais vous devriez vraiment commencer par les bases.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonsoir,

    Je croyais que j'avais répondu à vos questions.

    Je vous propose la réponse centrée sur la question essentielle (développement décimal binaire) :

    Avec x, y, z, n, b (b pouvant tendre vers l'infini) des entiers positifs, a et b entiers binaires de longueur illimitée,
    et (z'/y') = 1.a et (x'/y') = 0.b où x', y', z' sont les équivalents binaires de x, y, z.

    On a qui peut s’écrire :

    ou
    où 10 est 2 en binaire et d est la longueur du décalage binaire.

    limite et limite lorsque b tend vers l'infini.

    est de la forme ,

    où r, s, et m sont des entiers positifs.

    Cordialement

  27. #22
    photon57

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Ce que Mediat tente de vous faire comprendre est que :
    1. Vous ne confondez notation et nombre
    Dans notre système positionnel parler d'un nombre qui a un développement infini à gauche est impossible sans changer ce que vous entendez par notation.
    Un exemple tout simple est le suivant, en reprenant vos expérimentations :
    Partons de 5, élevons le carré. On obtient 25. Continuons jusqu'au bout.
    25
    625
    390625
    152587890625
    ...
    On voit clairement que ça converge vers un nombre infini à gauche qui apparemment termine par 90625, appelons le ifni5. Or ce nombre aura la propriété d'être égal à son carré. Conclusion, le polynôme P(x)=x²-x admet au moins trois racines réelles, 0,1 et ifni5 donc le théorème qui énonce qu'un polynome de degré n a au plus n racines réelles est faux.
    2. Une notation décimale binaire n'existe pas, à moins d'en donner un définition.

  28. #23
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonsoir/Bonjour

    Vous avez raison pour le 2) , quant au 1) j'avoue que je ne vois pas ou j'ai pu mentionner ces notions par contre j'ai fait allusion au calcul à point (décimal ?) fixe : le cadrage à gauche et non développement à gauche.

    L'essentiel est dans le message qui précéde immédiatement le votre. Si vous pouvez y jeter un coup d'oeil.

    Cordialement

  29. #24
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Comme vous semblez ne pas tenir compte des remarques qui vous sont faites, j'ai peur que vous ne progressiez plus.
    Je fais un dernier essai : calculez votre "d" dans le cas z = 5 et y = 3.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  30. Publicité
  31. #25
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonjour,

    données : z = 5 , y = 3

    5/3 = 1.6666 ......
    a = 6666 ......
    1a = 16666 ......



    limite quand d (entier positif) tend vers l'infini.

    a étant un nombre de longueur infinie, d est l'indice "extrême" de l'élément "extrême" { } de a.

    Le mot "extrême", c'est seulement pour donner une image.


    Cordialement

  32. #26
    invite986312212
    Invité

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    5/3 = 1.6666 ......
    a = 6666 ......
    1a = 16666 ......
    on peut écrire ce genre de choses , pourquoi pas? mais il ne faut pas dire que a est un nombre. C'est une suite de symboles <je me demande si c'est la suite "1" suivi d'une infinité de "6" , ou bien la suite "1" suivi de quatre "6" suivi d'un espace et de six "." >

    par contre je ne vois pas bien ce que ça apporte mathématiquement parlant.

  33. #27
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Bonjour,

    Citation Envoyé par AIB Voir le message
    d est l'indice "extrême" de l'élément "extrême" { } de a.
    Je vous ai donné des valeurs numérique, donc je voudrais que vous me disiez à quoi est égal votre d, sa valeur numérique exacte et vous n'avez pas répondu à cette question.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    1) pour les notations, il faut tenir compte du contexte.

    2) d (entier positif) tend vers l'infini

    3) et , où d (entier positif) tendant vers l'infini, sont respectivement de la forme générique et ,
    où r, s et m sont des entiers positifs.

    Pour moi, le 3) est le seul point déterminant quant à la vérité de la preuve. Peut être je me trompe.

  35. #29
    Médiat

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Donc vous ne savez pas calculer ce fameux d (et pour cause) qui est pourtant la pierre angulaire de votre démonstration ...

    Une information que vous devriez méditer : en supposant que z/y et y/x sont des réels et non des rationnels, vous allez trouver un d "qui tend vers l'infini" comme vous dites, vous pourrez donc à nouveau écrire votre équation dont vous déduirez que xn + yn = zn n'a pas de solution pour x, y et z réels et n > 2 !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    AIB

    Re : Récréation arithmétique avec Fermat

    Quel est votre avis sur le point 3) :

    3) et , où d (entier positif) tend vers l'infini, sont respectivement de la forme générique et ,
    où r, s et m sont des entiers positifs. (r, s et m peuvent tendre vers l'infini)

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