Exercice espace de fonctions

[invitec811222d]

Bonjour tout le monde, voilà un petit exo, j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste.

Soit compact et .

Montrer qui si est fermé borné et équicontinue dans où est la distance uniforme sur le compact K, alors est compact.

Ma preuve:

Soit une suite de fonctions dans alors pour chaque est une suite de réel bornée donc d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous suite qui converge vers un certains comme cette dernière est convergente elle est de Cauchy, donc en faisant tendre q vers l'infini et comme ne dépend que de epsilon alors comme est équicontinue alors est continue sur et comme est fermé alors , donc est compact.

Merci par avance pour vos remarques.
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
il y a un hic : c'est que la sous-suite en question dépend de . On peut quand même contourner ça, en se servant du fait que est séparable et du procédé d'extraction diagonale (on trouve ainsi une sous-suite qui marche pour tous les éléments d'une partie dénombrable dense, et l'équi-continuité permet de montrer qu'elle marche en fait pour tout élément de ).
Mais il y a encore un autre problème : le dépend de .
On peut donc procéder ainsi :

1. Comme est fermée dans un espace métrique complet, c'est une partie complète. Pour montrer que est compacte, il suffit donc de montrer que c'est une partie précompacte.
2. On se donne et le associé à l'équi-continuité. On peut trouver une quantité finie de telle que tout élément de K se trouve à une distance inférieure à d'un des .
   On note ces points. On considère . On se sert de la précompacité de pour trouver une quantité finie de telles que tout élément de se trouve à une distance inférieure à d'une .

Le résultat est connu sous le nom de Ascoli-Arzelà.

[invitec811222d]

Merci =) j'ai compris !