espace de fonctions

[invitea77054e9]

Bonjour,

Considérant un espace de fonctions (peut-être dit-on espace fonctionnel?), je me demandais s'il était possible d'en exhiber une base, et si oui, par quelle technique.

Plus génèralemet, ma question revient à considérer s'il est possible d'exhiber une base d'un espace vectoriel de dimension infinie.

L'exemple de lK[X] semble intéressant, puisque la famille (1,X,X²,...,X^n,...) en forme une base, du moins à l'évidence.
Et pour l'espace des fonctions polynômes sur une corps lK, qu'en est-il? Peut-on dire que la famille de fonctions (1,x,x²,...) en forme une base?
D'ailleurs, si on adjoint une troisième loi, la multiplication des fonctions, cet espace aura-t-il un caractère particulier, par exemple pourrait-on le considérer comme une algèbre? Car dans ce cas, la seule fonction x->x en formerait une base...d'ailleurs peut-on parler de base pour une algèbre? (je pose trop de questions ).

Pour les espaces du type C([a;b];lR), i.e espace des fonctions continues sur [a;b] à valeurs dans lR, que peut-on dire? Ca semble en tout cas difficile de trouver une base, pour ne pas dire impossible; mais si on considère des espaces "plus restreints", par exemple l'espace des fonctions de classe C infini périodiques sur lR, les choses semblent s'arranger.

Bref, tout cela reste un peu flou pour moi, si quelqu'un pouvait me donner quelques réponses, et m'indiquer le chemin à suivre (je suis sur qu'il y a une théorie développée à ce sujet ).
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[Gwyddon]

Salut evariste,

Tout d'abord, si tu accepte l'axiome du choix, tout espace vectoriel admet des bases. Par contre, en exhiber est très difficile, et dans certains cas impossibles : par exemple vu comme -espace vectoriel est un espace de dimension infinie, dont on ne peut exhiber de base mais dont on est sûr (avec l'axiome du choix) qu'il existe une base.

Ensuite, faire très attention avec la notion d'algèbre (qui me semble effectivement assez floue pour toi ) :
(E,+,.,*) (où . est la loi externe sur le corps K) est une algèbre ssi (E,+,.) est un espace vectoriel sur K , (E,+,*) est un anneau et .

Les lois . et * n'ont donc pas du tout la même signification d'un point de vue "algèbre linéaire", et lorsque tu parles de base, tu considères que les composantes des vecteurs sont des scalaires, donc pas question de dire que (x -> x) est une base de K[X] ...

Voilà voilà,

D'autres pourront sans doute étoffer tout ça

Julien

EDIT : magnifique croisement avec matthias

[matthias]

mais si on considère des espaces "plus restreints", par exemple l'espace des fonctions de classe C infini périodiques sur lR, les choses semblent s'arranger.

Tu penses aux séries de Fourier j'imagine. Mais même là tu as un problème étant donné que même avec une base infinie, tout vecteur doit être une combinaison linéaire finie d'éléments de la base.
Il faudrait que tu ailles voir du côté des espaces de Hilbert et des bases hilbertiennes.
http://www.les-mathematiques.net/b/c/i/node5.php3

[Quinto]

Pour les algèbres, une base de l'algèbre est une base de l'espace vectoriel, et de même pour la dimension.
Par exemple C est une R-algèbre de dimension 2 sur R de base {1,i}.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

à propos de l'anneau IR[X] des polynômes vu comme IR-espace vectoriel, il est en effet de dimension infinie, et la famille des Xⁱ est libre et génératrice: c'est donc une base. IR pourrait d'ailleurs être remplacé par un corps IK quelconque. Je t'invite à en faire la démo: c'est largement à ta portée je pense.

Cordialement.

[C.B.]

Bonjour,

Considérant un espace de fonctions (peut-être dit-on espace fonctionnel?), je me demandais s'il était possible d'en exhiber une base, et si oui, par quelle technique.

Plus génèralemet, ma question revient à considérer s'il est possible d'exhiber une base d'un espace vectoriel de dimension infinie.

Avec l'axiome du choix, on peut montrer que tout espace vectoriel admet une base.
Pour ce qui est d'"exhiber" une base, tout le problème vient de la définition "d'exhiber".
En admettant le principe du choix (version beaucoup plus forte de l'axiome du choix), il est possible de trouver une formule Phi(X) telle que le seul ensemble vérifiant Phi(X) soit une base de notre espace vectoriel.

Le principe du choix dit qu'il a un bon odre sur les ensembles. Il suffit de prendre pour Phi(X) la formule qui dit que X est une base minimale de notre espace vectoriel.

L'exemple de lK[X] semble intéressant, puisque la famille (1,X,X²,...,X^n,...) en forme une base, du moins à l'évidence.

En effet, cette base est d'ailleurs souvent appellée "base canonique de lK[X]

Et pour l'espace des fonctions polynômes sur une corps lK, qu'en est-il? Peut-on dire que la famille de fonctions (1,x,x²,...) en forme une base?

Il faut faire attention a un point très important : l'espace des fonctions polynômes sur |K est isomorphe à |K[X] si et seulement si |K est un corps de caractéristique 0.
Si |K est de caractéristique 0, via l'isomorphisme avec |K[X] on peut montrer que la famille de fonctions (1,x,x²,...) est une base de cet espace.

Par contre, si |K n'est pas de caractéristique 0, on a des contre-exemple.
Par exemple si |K est un corps fini (comme Z/7Z), l'espace de ses fonctions polynômes est fini (car alors il n'exiqte qu'un nombre fini de fonction de |K dans |K) et donc cet espace ne peut pas avoir de base infinie; et donc (1,x,x²,...) n'est pas une base.

Il existe aussi des contre-exemple avec des corps infinis qui ne sont pas de caractéristique 0.

D'ailleurs, si on adjoint une troisième loi, la multiplication des fonctions, cet espace aura-t-il un caractère particulier, par exemple pourrait-on le considérer comme une algèbre? Car dans ce cas, la seule fonction x->x en formerait une base...d'ailleurs peut-on parler de base pour une algèbre? (je pose trop de questions ).

Une base pour une algèbre, est sa base en temps qu'espace vectoriel.
Par contre, on peut dire que la famille (de cardinal 1) {x} engendre cette algèbre.

[invitea77054e9]

Merci pour toutes vos réponses, c'est tout à fait passionnant.

Simplement, je me permet de poser à nouveau une question:
Peut-on considérer des familles d'élèments non nécessairement dénombrables? J'entend par là de considérer une famille d'élèments non nécessairement indexée par lN (ou par un ensemble équipotent à lN). J'avais entendu le terme de famille sommable lors d'un cours sur les séries numériques au cours de l'année, mais mon prof m'avait dit de laisser ça de côté jusqu'à l'an prochain. Ca a un rapport?

Quant à la liberté d'une famille de fonctions, je n'arrive pas à en saisir le principe.
Par exemple, si je considère l'espace E engendré par les fonctions suivantes: 1, cos et sin. Par définition, je suis sûr que ma famille est génératrice de E, mais comment vérifier si elle est ou non libre dans E. Dois-je trouver pour tout réel x des a, b et c tels que a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0, ou dois-je trouver des a, b, c tels que pour tout réel x a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0 ?

Encore merci à tout ceux qui ont répondu ou vont répondre.

[martini_bird]

Salut,

Peut-on considérer des familles d'élèments non nécessairement dénombrables?

Oui, bien sûr. Par exemple, on choisit pour tout point x de IR un intervalle I_x qui contient x: {I_x} est une famille indexée par IR.

Une famille sommable est un ensemble dont on peut définir la somme de tous ses éléments.

Quant à la liberté d'une famille de fonctions, je n'arrive pas à en saisir le principe.
Par exemple, si je considère l'espace E engendré par les fonctions suivantes: 1, cos et sin. Par définition, je suis sûr que ma famille est génératrice de E, mais comment vérifier si elle est ou non libre dans E. Dois-je trouver pour tout réel x des a, b et c tels que a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0, ou dois-je trouver des a, b, c tels que pour tout réel x a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0 ?

Tu dois montrer que si a+b cos+c sin=0 (égalité de fonctions) alors a=b=c=0. Comme tu as une égalité de fonctions, tu peux particulariser x.

La liberté d'une famille correspond à l'idée que ses éléments sont indépendants entre eux: on ne peut pas en déduire un des autres par combinaison linéaire.

Cordialement.

[matthias]

Quant à la liberté d'une famille de fonctions, je n'arrive pas à en saisir le principe.
Par exemple, si je considère l'espace E engendré par les fonctions suivantes: 1, cos et sin. Par définition, je suis sûr que ma famille est génératrice de E, mais comment vérifier si elle est ou non libre dans E. Dois-je trouver pour tout réel x des a, b et c tels que a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0, ou dois-je trouver des a, b, c tels que pour tout réel x a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0 ?

Tu dois montrer que si a*1 +b*cos +c*sin = 0, alors a=b=c=0
Mais ici on parle de fonctions. La fonction nulle est celle telle que l'image de tout élément est 0.
donc pour tout x, a + b.cos(x) + c.sin(x) = 0
En prenant des valeurs de x différentes, tu vois que ça ne peut marcher que si a=b=c=0, donc ta famille est libre.

[EDIT: encore grillé par martini (des fois t'abuses ...)]

[invitea77054e9]

Merci, je pense avoir compris. C'est assez difficile de se défaire des espaces vectoriels de base, comme lR^n que j'ai étudié cette année en long et en large, mais dès que je considère un espace autrement plus compliqué, type espace fonctionnel justement, les choses sont moins évidentes.

C'est un peu comme lorsqu'on passe des équations où les inconnues sont des variables aux équations où les inconnues sont des fonctions. On a un peu de mal à comprendre qu'une fonction puisse être "variable".

Je vais réfléchir à tout ça cette nuit, et demain je reviendrais vous bombarder de questions .

Encore merci.

[C.B.]

Merci pour toutes vos réponses, c'est tout à fait passionnant.

Simplement, je me permet de poser à nouveau une question:
Peut-on considérer des familles d'élèments non nécessairement dénombrables? J'entend par là de considérer une famille d'élèments non nécessairement indexée par lN (ou par un ensemble équipotent à lN). J'avais entendu le terme de famille sommable lors d'un cours sur les séries numériques au cours de l'année, mais mon prof m'avait dit de laisser ça de côté jusqu'à l'an prochain. Ca a un rapport?

Une famille sommable est un famille sur laquelle on peut définir la somme et telle que la somme vérifie de bonnes propriété (de meilleures propriété que les séries par exemple).

Un théorème dit que Si (X_i) est une famille sommable indexée par I, alors il existe un sous ensemble J dénombrable (c'est à dire en bijection avec |N) ou fini de I tel que pour tout i n'appartenant pas à J on a X_i=0.
Autrement dit : Une famille sommable est nulle sauf en un nombre fini ou dénombrable d'indices.

Quant à la liberté d'une famille de fonctions, je n'arrive pas à en saisir le principe.
Par exemple, si je considère l'espace E engendré par les fonctions suivantes: 1, cos et sin. Par définition, je suis sûr que ma famille est génératrice de E, mais comment vérifier si elle est ou non libre dans E. Dois-je trouver pour tout réel x des a, b et c tels que a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0, ou dois-je trouver des a, b, c tels que pour tout réel x a*1+b*cos(x)+c*sin(x)=0 => a=b=c=0 ?

Encore merci à tout ceux qui ont répondu ou vont répondre.

Il faut se reporter à la définition générale de la liberté d'une famille.

Pour que x,y,z soit une famille libre, il faut que pour tout scalaire a,b,c on ait :
a*x+b*y+c*z=0 => a=b=c=0.

La "difficulté conceptuelle" réside à mon avis dans le fait que le "+" n'est pas ici la somme classique sur les réel, mais la somme sur les fonction.
Le "*" est lui le produit d'un scalaire (un réel ici) par une fonction (et il donne pour résultat une fonction).
L'égalité est celle des fonctions (mais martini_bird en a déjà parlé)