Fonctions à décroissance rapide et espace de Schwartz

[invite9bf5e42d]

Bonjour,
je dois montrer si les fonctions suivantes sont à décroissance rapide et si elle appartiennent à l'espace S(R)
a) e^xcos(x)
b) e^-|x|sin(x)

Pour la seconde je pense qu'elle n'appartient pas à S(R) car elle n'est pas dérivable à cause de la valeur absolue.

Je ne sais pas comment montrer si elles sont à décroissance rapide.

Merci pour votre aide.
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[invite1e1a1a86]

décroissance rapide= "décroit plus vite que tous polynômes en l'infini"?

si c'est ça, la première ne l'est clairement pas (vers quoi tend elle en l'infini? ou plutôt, tend elle vers 0 en l'infini?).

pour la seconde, elle l'est (étudie la limite de en ). Pour la dérivabilité en 0, il faut être plus soigneux (étudier la limite du quotient pour x tendant vers 0 à gauche et à droite) car elle est bien dérivable en 0 malgré la valeur absolue.

[invite9bf5e42d]

Bonjour,
merci pour votre réponse.
J'ai pu montrer que la première oscillait entre + et - => donc n'est pas à décroissance rapide.

Pour la seconde j'ai calculé la dérivée à droite et à gauche de zéro et j'ai obtenu 1.

Maintenant est-ce que je doit calculer la dérivée et montrer que chacun de ses dérivée est à décroissance rapide ?

Merci pour votre aide.

[invite1e1a1a86]

Si ta définition de S(R) le demande, alors oui il faut le montrer

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

la deuxième est dérivable en 0 (à cause du sinus qui vaut 0 et en 0 et donc qui "absorbe" un peu l'irrégularité de la valeur absolue), mais elle n'est pas infiniement dérivable, donc pas dans S(R) (calcule la dérivé 1er pour x>0 et pour x<0, montre que ca ce prolonge par continuité en 0, et que la fonction prolongé n'est pas dérivable en 0...)

[invite9bf5e42d]

Bonjour,
merci pour cette précision.
J'ai calculé la dérivée à gauche de 0 :
J'ai calculé la dérivée à droite de 0 :

Je comprend que je peux prolonger en 0 car la limite et en sont les mêmes mais comment montrer que ce n'est pas dérivable ?

Merci pour votre aide.

Bonne journée

[invite4ef352d8]

Tu as plusieur solution, la plus simple est encore à mon avi de calculer la dérivé (seconde) en utilsant la formule pour x>0 et pour x<0 et de montrer qu'elle non pas la même limite en 0... ca ne prouve pas que la fonction n'est pas deux fois derivable, mais au moins qu'elle n'est pas deux fois continuement dérivable...

sinon tu peut aussi former le taux d'acroissement de la dérivé en 0, et montrer qu'il ne converge pas (il va avoir une limite à droite et une limite à gauche différente...) et la tu montre vraiment que la fonction n'est pas deux fois dérivable...