Espace vectoriel de suites réelles

[The Artist]

Bonjour,

On sait que les suites définies par une relation de récurrence linéaire, tels que la suite u(n+2)=u(n+1)+2u(n) par exemple, forme un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles.

J'aimerais savoir comment démontrer proprement qu'un tel sous-espace vectoriel forme un plan vectoriel ou une droite vectorielle.

Merci d'avance pour toute éclaircissement !
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Salut the artist,
j'espère pouvoir te donner une démonstration juste
Tout d'abord supposons une suite géométrique soit :
alors il nous faut juste connaitre "a" pour connaitre (avec biensur)
Donc on doit connaître un coefficient, donc dimension 1

Pour une suite de la forme

Donc on doit connaître p coefficients donc sûrement de dimension p.

Après je me trompe peu être! Et je suis sûr que si c'est le cas certains se feront une joie de reprendre mes erreurs

RoBeRTo

[The Artist]

Merci RoBeRTo-BeNDeR !

Je pense que tu es dans le vrai !

Je n'arrivais pas à faire le parallèle entre les droites et plans vectoriels de et les suites numériques...

Il s'agit vraisemblablement des coefficients de chaque terme déterminant la suite.

Ainsi les suites , sont des droites vectorielles engendrées par le coefficient .

Merci !

[RoBeRTo-BeNDeR]

c'est ce que je pense mais rien n'est sûr attendez des personnes qui plus expérimentées que moi dans ce domaine.

RoBeRTo

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Car la raison de la dimension peut être aussi liée au fait qu'il faut connaitre donc exactement p valeurs. donc je ne sais pas réellement

RoBeRTo

[mimo13]

Salut,

En effet c'est bien un sous espace vectoriel de dimension .

Pour ce qui est de la démonstration:

On note la relation de récurrence:

et l'ensemble des suites vérifiant cette relation.

On construit alors un isomorphisme d'espaces vectoriels de vers , qui à chaque suite de associe le p_uplet .

Cordialement

[The Artist]

Bonjour et merci pour vos réponses !

Pour ce qui est de démontrer qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel, noté F, de l'espace vectoriel , on peut aussi le faire comme ceci :

1) on vérifie qu'il est non vide
2) on vérifie que

Mais plus précisément, comment démontrer qu'il s'agit d'une droite vectoriel, d'un plan vectoriel, ..., d'un hyperplan vectoriel de dimension ?

S'agit-il juste d'une définition ?

Concernant ta démonstration, mimo13, comment construire un tel isomorphisme d'espaces vectoriel de vers ?

[mimo13]

Pour ce qui est de démontrer qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel, noté F, de l'espace vectoriel , on peut aussi le faire comme ceci :

1) on vérifie qu'il est non vide
2) on vérifie que

Oui, c'est bien cela, la structure d'espace vectoriel découle de la linéarité de la formule récurrente.

Mais plus précisément, comment démontrer qu'il s'agit d'une droite vectoriel, d'un plan vectoriel, ..., d'un hyperplan vectoriel de dimension ?

S'agit-il juste d'une définition ?

Concernant ta démonstration, mimo13, comment construire un tel isomorphisme d'espaces vectoriel de vers ?

L'isomorphisme est bien:

qui à toute suite de associe le p_uplet .

Tu peux tenter de démontrer la chose, c'est assez simple.

[The Artist]

Bon je me jette à l'eau et tente une approche, via la définition d'un isomorphisme d'espace vectoriels :

Un isomorphisme d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel est une application linéaire bijective entre ces deux espaces vectoriels, c'est-à-dire :

1)
2)

Pour faire simple, je vais commencer par la dimension 1 :

Soit la suite réelle , définie par et . C'est évidemment une suite géométrique de raison q, et donc on peut l'écrire .

Soit , l'ensemble de telles suites.

Soient et deux suites de .

On a : et

Or on veut qu'une application telle que : , conduisant à et

Mais là je bloque déjà... En effet, comment construire une fonction qui ne dépend pas des raisons et ?

Si , tout va bien, on peut prendre .

D'où ma question... l'espace vectoriel contient-il les suites de mêmes raisons ou de raisons différentes aussi ?

[mimo13]

D'où ma question... l'espace vectoriel contient-il les suites de mêmes raisons ou de raisons différentes aussi ?

Non, l'espace vectoriel contient des suites de même raison, c'est l'espace des suites vérifiant la relation de récurrence , si tu change la raison, tu change la formule de récurrence.

[Médiat]

Donc on doit connaître p coefficients donc sûrement de dimension p.

Quand on parle de l'espace vectoriel des suites définies par une relation de récurrence linéaire, cela veut bien dire que la relation de récurrence est fixée, ce qui donne la dimension, c'est le choix de U0, ... U(p-1).

Il est facile de montrer que l'ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence donnée est un espace vectoriel (non vide, stable par la somme et la multiplication externe); l'autre vision qui consiterait à fixer les Ui et faire varier les coefficients ne marche pas, la somme de deux suites commençant par U0 ne commence pas par U0.

[mimo13]

1)
2)

Tu dois déjà voir que montrer que c'est linéaire, c'est évident:

Si alors etc....Donc
De même pour ...

Je préfère que tu te lance dans la démonstration de la bijection qui est nettement plus intéressante.