Integrale dependant d'un caractere

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Désolé fausse manip avec Latex ...

Voici un exercice : On pose .

a) Montrer que I converge.

Soit f : R -> R la fonction définie par et g : R -> R la fonction définie par g(x) = .

b) Montrer que .

c) Calculer f' en fonction de g et de g', puis exprimer f en fonction de g. En déduire que I = .

Pour la question a), je montre que et donc converge par comparaison avec une intégrale de Riemann convergente et donc I converge.

Est-ce correct ?

Pour la question b) , on a : (avec k >0 car intégrale d'une fonction positive) et donc ça tend vers 0 quand x tend vers . Ainsi .

Est-ce correct ?

En revanche je suis bloqué quand je calcule f' avec le th de dérivation sous le signe intégrale, j'obtiens et . Mais je n'arrive pas à exprimer f'(x) en fonction de g' et g.

Quelqu'un peut-il m'aider ?

[Tiky]

Bonjour,

Ta question b) est fausse. Attention, n'est pas une constante ! Cette quantité dépend de x !

Une simple majoration de cette intégrale permet de conclure pour la question b).

Pour la question c), tu as déjà que
Un petit changement de variable et voilà !

[invite3d4a2616]

Merci pour les explications

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3d4a2616]

Je me suis remis à chercher l'exercice mais :

- je n'arrive pas à majorer dans le b) : et je suis bloqué.

- pour le c) , je montre que f'(x) = -2g'(x)g(x) et donc f(x) = - g²(x). Mais la déduction demandée m'échappe.

[Tiky]

Pour la première question, il faut faire une majoration qui fait disparaître x, tu as donc tout intérêt à majorer le numérateur et non le dénominateur.

Pour la seconde question, tu as oublié quelque chose de très important, c'est la constante d'intégration. Tu dois déterminer cette constante en choisissant bien le point où tu vas évaluer la relation.

[invite3d4a2616]

Effectivement, je m'étais mis dans la tête que f(0) = 0 , or f(0)=.

D'où quand car quand .

Puis on passe à la racine carrée pour I.

Merci de ton aide