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intégrale dépendant d'un paramètre



  1. #1
    Desk

    intégrale dépendant d'un paramètre


    ------

    bonjour à tous ! j'ai à nouveau une question qui ne me semble pas évidente :

    n>=1 ; x>=1

    Gn(x)=intégrale entre x et +00 de (([ln(u/x)]n)/(u2ln(u)n))du

    Montrer que Gn(x) est dérivable et montrer que :

    Gn(x) - Gn-1 = G'n(x)(xln(x))/n

    Montrer que Gn(x) est décroissante
    Quelle est la limite de Gn(x) quand x tend vers l'infini

    Merci à beaucoup à ceux qui m'aideront

    -----

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  3. #2
    acx01b

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    salut

    dans l'expression que tu as donné le n s'annule, et Gn-1 c'est censé être quoi ?

  4. #3
    Desk

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    pardon, j'ai fait quelques erreurs de frappe. C'est :

    Gn(x)=intégrale entre x et +00 de (([ln(u/x)]^n)/((u²)(ln(u))^n))du

    et

    Gn(x) - G(n-1)(x) = G'n(x)(xln(x))/n

    Merci

  5. #4
    acx01b

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    pour Gn(x) décroissante : j'ai l'impression que tu peux montrer facilement que pour x > 1 la dérivée est négative

    déja, est-ce que tu as montré que la fonction est dérivable et as-tu calculé sa dérivée ?
    Dernière modification par acx01b ; 12/03/2009 à 16h16.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Desk

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    non, je n'y parviens pas. Pourtant ce n'est pas faute d'avoir essayé...

  8. #6
    acx01b

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    Gn(x) = intégrale {x à +inf} de fn(x,u) du
    pour tout u,x,n > 1 : fn(x,u) > 0

    par quelle fonction h(u) intégrable de {x à +inf} peux-tu majorer fn(x,u) ?

    petit rappel de ton cours: une fois que tu as h(u) tu as montré que l'intégrale converge : que Gn(x) est bien définie et que G'n(x) =
    intégrale {x à +inf} de (d (fn(x,u)) / dx) du
    Dernière modification par acx01b ; 12/03/2009 à 17h29.

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  10. #7
    Desk

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    en fait le cours dont tu parles n'est pas au programme dans la formation que je suis.

    Il me semble que h(u)=1/u² peut convenir ? On a donc Gn(x) qui converge (intégrale de Riemann). Ensuite, je peux alors dériver sous l'intégrale, c'est ça ?

  11. #8
    acx01b

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    c'est ça

    j'ai dit une bétise on majore par 1/u² pour x,n >= 1 et u > 1

    écris ce que tu trouves comme dérivée pour faire la suite
    Dernière modification par acx01b ; 12/03/2009 à 18h26.

  12. #9
    Desk

    Re : intégrale dépendant d'un paramètre

    Il y a une autre question qui me pose problème :

    Montrer que la suite n-->Gn(x) converge et que pour x>1, cette limite est nulle. Indication : on peut écrire
    Gn(x)=(intégrale entre x et x+a de Gn(x)) + (intégrale entre x+a et +oo de Gn(x)) et choisir a de manière judicieuse.

    Quelqu'un aurait une idée ?

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