intégrale dépendant d'un paramètre

[invitec3cd43cb]

bonjour à tous ! j'ai à nouveau une question qui ne me semble pas évidente :

n>=1 ; x>=1

Gn(x)=intégrale entre x et +00 de (([ln(u/x)]n)/(u2ln(u)n))du

Montrer que Gn(x) est dérivable et montrer que :

Gn(x) - Gn-1 = G'n(x)(xln(x))/n

Montrer que Gn(x) est décroissante
Quelle est la limite de Gn(x) quand x tend vers l'infini

Merci à beaucoup à ceux qui m'aideront
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[acx01b]

salut

dans l'expression que tu as donné le n s'annule, et Gn-1 c'est censé être quoi ?

[invitec3cd43cb]

pardon, j'ai fait quelques erreurs de frappe. C'est :

Gn(x)=intégrale entre x et +00 de (([ln(u/x)]^n)/((u²)(ln(u))^n))du

et

Gn(x) - G(n-1)(x) = G'n(x)(xln(x))/n

Merci

[acx01b]

pour Gn(x) décroissante : j'ai l'impression que tu peux montrer facilement que pour x > 1 la dérivée est négative

déja, est-ce que tu as montré que la fonction est dérivable et as-tu calculé sa dérivée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3cd43cb]

non, je n'y parviens pas. Pourtant ce n'est pas faute d'avoir essayé...

[acx01b]

G_n(x) = intégrale {x à +inf} de f_n(x,u) du
pour tout u,x,n > 1 : f_n(x,u) > 0

par quelle fonction h(u) intégrable de {x à +inf} peux-tu majorer f_n(x,u) ?

petit rappel de ton cours: une fois que tu as h(u) tu as montré que l'intégrale converge : que G_n(x) est bien définie et que G'_n(x) =
intégrale {x à +inf} de (d (f_n(x,u)) / dx) du

[invitec3cd43cb]

en fait le cours dont tu parles n'est pas au programme dans la formation que je suis.

Il me semble que h(u)=1/u² peut convenir ? On a donc Gn(x) qui converge (intégrale de Riemann). Ensuite, je peux alors dériver sous l'intégrale, c'est ça ?

[acx01b]

c'est ça

j'ai dit une bétise on majore par 1/u² pour x,n >= 1 et u > 1

écris ce que tu trouves comme dérivée pour faire la suite

[invitec3cd43cb]

Il y a une autre question qui me pose problème :

Montrer que la suite n-->Gn(x) converge et que pour x>1, cette limite est nulle. Indication : on peut écrire
Gn(x)=(intégrale entre x et x+a de Gn(x)) + (intégrale entre x+a et +oo de Gn(x)) et choisir a de manière judicieuse.

Quelqu'un aurait une idée ?