bonjour
j'ai une question si possible
y-a-t-il une équivalence entre une application bijective et une application continue et strictement monotone.
si non je veut un contre exemple.
moi j'ai essayer a trouver une application bijective et non continue,par exemple l'application :
f:R dans R
x on associe :f(x)=x si x est inférieur strictement a 0 et f(x)=x+1 si x est supérieur a 0
cette application continue et strictement croissante mais pas bijective est ce que c'est vraie .
merci.
Ton application n'est pas continue, puisque la limite à gauche en 0 de f est 0, mais la limite à droite en 0 est 1
Il existe des applications bijectives non continues, par exemple la fonction. (il existe même des fonctions bijectives qui ne sont continues nulle part (*))
Il existe des applications continues strictement monotones mais non bijectives, par exemple la fonction
Cependant, ces dernières peuvent toujours être rendues bijectives en restreignant leur ensemble d'arrivé à l'image de l'ensemble de la fonction de départ par la fonction. Ainsi la fonction
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_la_bijection
(*): La fonction
est un exemple d'une telle fonction
*** message effacé car erroné ****
Arg ! la fonction h est continue en 0, ça n'est donc pas un bon exemple, j'ai été un peu vite(bon, elle est continue seulement en 0)
Je propose donc une autre bijection qui est elle bien continue nul part :
