exercice sur la borne sup

[invite371ae0af]

bonjour,

voici l'exercice qui me pose problème:
A={(2n)/(n²+1), n dans Z}
dans la correction j'ai vu que supA=1 et infA=-1

mais je ne vois pas pourquoi c'est ca:
j'aurai plutôt dis que supA=0 en faisant tendre n vers +oo
et pour l'inf je ne vois pas.

y-a-t-il une manière pour étudier les bornes sup et inf d'un ensemble définit sous forme de suite?

voici un autre exo où j'aurai besoin d'aide
soit f une fonction de R dans R, de même pour g
If=Imf avec Im:image de f
Ig=Img
f(x)=x² si x pas dans Z, x si x dans Z
g(x)=|x²-2| si x pas dans Z, |x|+1 si x dans Z
on me demande le sup, l'inf, min, max de If, Ig, If inter Ig

pour le résoudre j'ai commencé par représenté les 2 fonctions.
Pour If et Ig je dirai que le sup et l'inf n'existe pas, parce que quand je fais +oo ou -OO, j'obtiens une limite infinie. Pour max et min je donne la même justification
Pour If inter Ig (valable que lorsque x pas dans Z d'après mon graphique), je dirai que le sup et l'inf existe. De même pour le max et le min. (je regarde mon dessin)
mais comment trouver le sup, inf, max, min puisqu'alors il faut résoudre l'équation: x pas dans Z
x²=|x²+1|
x^4-x²-1=0
mais comment trouver les racines?

pour terminer, avez vous d'autres exo du même genre, ensemble sous forme de fonction ou suites? si oui je suis preneur


merci de votre aide
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[invitec336fcef]

pour le premier exercice, pourquoi ne pas étudier la fonction f: x-> f(x) = 2*x/(x^2+1).

Pour trouver les racine de votre polynôme de degré 4, poser Y = x^2.

[invite371ae0af]

j'ai pensé à étudier la fonction pour l'exo 1 mais le problème c'est que x est dans Z et non dans R, et quand on étudie une fonction, on ne prend pas que des entiers relatifs
pour le changement de variable à l'exo 2 ca à l'air de marcher

[invite57a1e779]

A={(2n)/(n²+1), n dans Z}

Lorsque : , donc .
Lorsque : , donc .
Il faut ensuite établir les inégalités en sens inverse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec336fcef]

Peu importe. Si vous étudiez cette fonction, vous allez montrer que , -1 f(x) 1. Le résultat sur les suites à valeurs dans Z s'en déduit immédiatement.

[invitec336fcef]

J'ajoute que ce raisonnement fonctionne si et seulement si f est continue, ce qui est le cas ici.

[invite371ae0af]

quel théorème permet de dire qu'on peut faire une étude de fonction?
peut être que pour n dans R ca marche mais ce n'est pas forcément le cas sur Z.

[invitec336fcef]

non mais ..... Ya pas de théorème. Je vous suggère juste d'étudier cette fonction continue sur R. Vous remarquerez que , -1 f(x) 1. Ce qui est vrai pour tous les réels l'est forcément pour les entiers relatifs (en effet, on a bien ). Vous aurez donc nécessairement trouvé les bornes inférieures et supérieures de votre suite, peu importe son comportement.

[invite371ae0af]

d'accord pour l'exo 1

et pour l'exo 2?