Salut !
J’ai un exo sur les séries de Taylor, et je n’y comprends à vrai dire rien.
Je dois d’abord donner la série de Taylor autour de 2 de f(x)=1/x (x !=0).
J’ai trouvé : Somme (de 0 à + infini) (((-1)^n) (x-2)^n)/(2^(n+1))
Ecrit autrement :
(-1)^n (x-2)^n
______________
2^(n+1)
J’ai trouvé comme rayon de convergence R =2 et comme intervalle de convergence ]0,4[.
C’est là que ça coince : Je dois dire si cette série me permet d’estimer f(2.01) et f(2*Pi) en justifiant. Je ne comprends pas vraiment. Qu’est-ce qui pourrait m’empêcher de faire une estimation ?
Autre question : maintenant on considère le polynôme de Taylor de degré n autour de 2 de la fonction f (toujours la même). Je dois utiliser l’analyse de taylor (késako ?) pour trouver une borne supérieure de l’erreur d’approximation de f par le polynôme de Taylor de degré n, dans un intervalle quelconque.
J’ai commencé à utiliser l’inégalité de Taylor : |f(n+1)(x)|=(n+1) !/|x|^n+2 <= M
Sauf que je ne sais pas quoi en faire. Dans l’énoncé de l’inégalité de Taylor, il y a un |x-a|<= d (je ne sais même pas d’où ça sort).
Alors j’ai posé d un réel positif tel que d<=|x|^n+2 et donc M=(n+1) !/d.
En remplaçant dans l’inégalité de Taylor, j’obtiens |Rn(x)|<= (|x-2|^n+1 )/d.
C’est ça qu’il faut faire ?
Et une dernière question : Il faut trouver un intervalle qui permet de dire que la série trouvée est égale à f. Je pensais simplement utiliser la question d’avant et faire la limite quand n tend vers l’infini de (|x-2|^n+1 )/d =0, càd quand |x-2|<1 soit 1<x<3.
Un coup de main svp ne serait pas de refus, je nage un peu dans le potage. J’ai bien des exemples un peu similaires, mais ils font toujours références à des cas où on n’a pas à se demander ce qu’il faut faire et bêtement appliquer…
Merci d’avance.
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