Suite de Cauchy

[math123]

Bonjour,

Voila on me demande de prouver l'implication suivante:
Si il existe k dans [0,1[ et >0 / pour tout entier naturel ||U(n+1)-U(n)|| implique (u) est une suite de Cauchy

En fait je dois montrer cela:

pour tout epsilon il existe un alpha tel que pour tout (n, p) entiers naturel si on a n>alpha alors ||u(n)-u(n+p)||<=epsilon mais je ne sais pas trop comment m'y prendre on m'a dit qu'il fallait utiliser un téléscopage mais le problème ici c'est que l'on pas de p ?
Merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Le télescopage est tout simplement :

[math123]

Merci de votre réponse mais je majore comment ?
Parce que pour U(n+1)-U(n) je vois mais après le reste pour le majorer ?
Merci encore

[Médiat]

Bonjour,

Dans votre énoncé, vous avez une majoration où n est une variable quantifiée universellement ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[math123]

Je suis d'accord mais le problème c'est que je risque de le majorer par n*quelque chose or sa tendrait vers l'infini et non vers 0 et ce ne ser&ait pas une suite de Cauchy alors ?

[invite57a1e779]

Chacune des différences qui apparaît dans le télescopage peut-être majorée.

[math123]

Oui on peut majorer tout cela par n*lambda*k^n et sa tend vers 0 sa alors ?
Merci encore

[invite57a1e779]

Chacune des différences qui apparaît dans le télescopage peut-être majorée par .

[Médiat]

Chacune des différences qui apparaît dans le télescopage peut-être majorée.

Le choix de k comme nom de variable est peut-être malheureux , mais l'idée est bien celle-là, et vous avez la réponse dans l'énoncé.

[EDIT] Avec q comme variable, cela va mieux

[invite29cafaf3]

Avec q comme variable, cela va mieux

C'est un constante, rien ne vaut le q (même variable).