Inégalité et double dérivée

[invite62b59abd]

Bonjour tout le monde,

J'ai une question de maths niveau prepa début de 1ere année (on a donc pas vu grand chose encore) a laquelle je ne vois pas du tout comment répondre :


Soit f une fonction définie sur ]0, 1[, deux fois dérivable et telle que pour tout x ∈]0, 1[, f''(x) ≥ 0.
Justifier que pour tout x ∈]0, 1[, on a
(f(x) + f(1 − x))/2 ≥ f(1/2)


Si quelqu'un pouvais m'aider ce serait génial

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Pour ce genre de problème, il suffit généralement de considérer la fonction auxiliaire : .
Le signe de doit donner le signe de , d'où les variations et le signe de , ce qui permet de remonter aux variations de pour obtenir, si tout fonctionne correctement : .

[inviteea028771]

La méthode de God's Breath est probablement celle attendue,

cependant ici on peut aussi utiliser un argument de convexité.

Je pense que tu n'as pas encore abordé la convexité, donc c'est plus à titre d'exemple qu'autre chose

implique que f est convexe sur ]0,1[ (*), donc pour tout x,y dans ]0,1[ et pour tout t dans [0,1], on a (définition de la convexité):



En prenant t = 1/2, x=x et y=1-x, on obtient directement le résultat.

(*) c'est évidement le résultat qu'il faudrait démontrer si la notion de convexité n'est pas considérée comme connue dans le cadre de l'exercice. Et il est clair qu'il est moins évident à démontrer qu'un cas particulier, cette solution n'est donc intéressante que si ce résultat est connu

[invite62b59abd]

Bonsoir et merci pour vos réponses,

Si j'ai bien compris, en fait la question est donc de trouver le signe de f''(1-x) (pour ensuite avoir le signe de g'')
Etant donné que le signe de f''(x)≥ 0, j'aurais tendance a dire que f''(1-x) est inférieur a 0 mais je n'en suis pas sûr.

@Tryss : Je suis désolé, on n'a pas encore vu cette notion du coup je n'ai pas compris grand chose ^^'

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62b59abd]

C'est bon j'ai compris, merci beaucoup !