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Dérivée et inégalité



  1. #1
    Crri

    Dérivée et inégalité


    ------

    j'ai besoin d'aide!
    pour plusieurs choses d'ailleurs...: quelle pourrait etre la derive de :
    1-((-2n)/(x+n))-e^(-x) ? (avec n un entier non nul)

    comment peut-on prouver que :
    (2n+1)e > 2n+3?
    Voila. Merci enormement a qui pourrait me sauver de ce mauvais pas....

    -----

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  3. #2
    Neji

    Re : Dérivée et inégalité

    Salut,
    A première vue je dirai qu'il n'y a pas gros souci, mais sait-on jamais....
    Enfin bref, pour la dérivée tu fais comme tu as (sans doute) l'habitude de faire: tu dérives par rapport à x, tu devrais trouver le résultat sans trop de difficulté.

    Pour l'inégalité, j'ai un petit souci vu que tu n'as pas précisé à quel ensemble appartenait n....Parce que sinon si je prends par exemple n=0 je tombe sur e>3 ce qui (je pense) n'est pas correct.
    Essaies un petit peu encore et si tu cales fais le savoir.

  4. #3
    Crri

    Re : Dérivée et inégalité

    eh bien en fait la seconde partie est liee a la premiere : le n en question est un entier naturel non nul....le probleme pose correspond a la fin de l'etape d'heredite d'une demonstration par recurrence : demontrer que e^n+1>2n+1, ce qui revient a demontrer que e^n+2>2n+3, donc que (2n+1)e>2n+3 (d'apres l'initialisation de cette demonstration par recurrence). Et c'est la tout le probleme... autrement, pour la derivee, je n'y arrive pas par la methode "normal" en fait, c'est pour ca que je demande de l'aide lol

  5. #4
    Neji

    Re : Dérivée et inégalité

    Citation Envoyé par Crri Voir le message
    demontrer que e^n+1>2n+1, ce qui revient a demontrer que e^n+2>2n+3, donc que (2n+1)e>2n+3
    Euh..je ne vois pas comment montrer que (2n+1)e>(2n+3) puisse prouver que e^n+2>2n+3.....
    Ben si tu fais bien ta démo par récurrence tu as:

    n=1 --> e^2 > 2 vrai
    n=2 --> e^3 > 5 vrai
    On suppose qu'au rang n la propriété est vraie : e^(n+1) > 2n+1
    On essaie donc de démontrer que e^(n+2) > 2n+3
    Remarque que e^(n+2) = e^(n+1) * e....tu sais en plus que e > 2 (c'est un fait). Avec celà tu peux créer l'inégalité recherchée et le tour est joué.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Crri

    Re : Dérivée et inégalité

    j'ai du mal avoir comment tu veux proceder....

  8. #6
    Neji

    Re : Dérivée et inégalité

    e^(n+1) > 2n+1 d'après l'hypotèse de récurrence.
    e > 2

    en faisant la multiplication membre à membre, on a:

    e^(n+2) > 2(2n+1)

    Or pour tout n entier naturel non nul, 2n>1 donc 4n-2n>3-2 donc 4n+2>2n+3
    d'où 2(2n+1)>2n+3. Par transition tu as alors:

    e^(n+2) > 2n+3 cqfd.....la propriété vient d'être démontrée pour le rang n+1

    Conclusion: pour tout n entier naturel non nul, e^(n+1) > 2n+1

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