inegalité dérivée

[inviteae1ed006]

Bonjour à tous,
Vu sur d'autres Forums de Math :

Soit f une fonction derivable deux fois sur [0,1]. on appelle f' sa derivé premiere et f'' sa derivé seconde
f(0)=0, f(1)=1.
f'(0)=0,f'(1)=0.
on apellera L Sup|f'(t)| .
Montrer que L>1
Montrer ensuite qu'il existe a dans [0,1] tel que |f''(a)|>L²/(L-1)

Voilà comment je m'y suis pris pour la première :

Soit
et est continue. Il existe donc tq donne .
On applique alors le TAF avec y dans : .
Maintenant par l'absurde on suppose ; en appliquant le TAF avec dans , on a :

Quoi qu'il en soit, on a sur ce qui est absurde puisque

Personne (moi y compris) n'a trouvé de réponse à la 2/
Auriez-vous une idée ?
Merci
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[invite836a0f72]

Hello !

Je pense que tu t'es légèrement compliqué la vie pour la première question. C'est démontrable même si on n'a aucune information sur la dérivée (autre qu'elle existe), c'est même vrai pour une fonction f seulement continue mais dérivable par morceaux. Pour s'en convaincre, il suffit de faire un dessin (qui guidera la démonstration), la fonction la plus simple reliant 0 à 1 (sur 0 et 1) est la droite de pente 1. Si une fonction a toujours une pente plus petite que 1, elle ne pourra tout simplement pas être continue car les morceaux partant de 0 d'un côté et de 1 de l'autre ne peuvent pas se rejoindre sans croiser la droite y=x et donc avoir une pente plus grande que 1.

Ceci étant dit, on voit qu'il faut utiliser les hypothèses sur f' pour la seconde question. En particulier, si on refait un dessin (je suis physicien, j'aime bien les dessin ), la fonction dérivée typique ressemble à une cloche allant de 0 à 0 (sur 0:1) et de maximum L, situé pour fixer les idées en un point x=b. Alors, on a déjà nécessairement |f''| > L/b et |f''| > L/(1-b). En particulier, au moins |f''| > 2L vu que soit b, soit 1-b est plus petit que 0,5.

Pour la suite, il va falloir que je réfléchisse encore un peu, mais je pense que c'est la piste à suivre.

A+

JJ

[inviteae1ed006]

J'aime beaucoup ta démonstration à la physicienne mais je suis (ou plutôt j'etais) un matheux et il me faut quelque chose de rigoureux avec des (même si je suis d'accord avec toi...)
D'autre part je crois qu'il y a méprise : il ne s'agit pas de montrer que mais bien et donc en faisant un raisonnement par l'absurde comme tu l'as fait on doit supposer que c'est impossible pour ce qu'on ne peut pas faire sans utiliser puisque si on a pas d'hypothèses sur alors convient et pourtant dans ce cas L=1.

Pour 2/ j'ai déjà pensé à faire ce que tu as proposé mais ça ne m'a mené nul part pour l'instant...

[inviteae1ed006]

Quelqun à trouvé une réponse ici

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite836a0f72]

C'est fort joli, effectivement. Merci pour le lien !

A+

JJ