valeurs propres

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide sur cet exo: on considère la matrice A=
0 0 0
-1 3 0
-8 2 4

j'ai calculer le polynôme caractéristique de A et j'ai comme valeur propre:
a1=4
a2=(3+rac(5))/2
a3=(3-rac(5))/2

j'ai diagonalisé A et je l'ai appelé A'. sur la diagonale de A' j'ai mis les valeurs propres et des 0 ailleurs
Maintenant j'aimerai bien trouvé P tem que A'=P^(-1)AP
j'ai pensé à cherché une base de chaque sous espace propre: Ker(A-a1I)....
mais le problème c'est que les calcul sont lourds à partir de Ker(A-a₂I)
par conséquent, n'y-a-t-il pas une méthode qui me permette de trouver une base de ces sous espaces propres sans faire des calculs si lourds?


j'aurai encore une autre question qui n'a rien à voir avec l'exo précédent:
comment faire pour savoir qu'une matrice A est diagonalisable si c'est valeurs propres ne sont pas toutes distinctes?
est-on obligé d'aller jusqu'à la formule A'=P^(-1)AP (avec A' une matrice diagonale) pour dire que A est diagonalisable?
n'y-a-t-il pas une méthode plus simple?


merci de votre aide
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[inviteea028771]

Tes valeurs propres sont fausses.
Det( A-xI ) = -x(3-x)(4-x)

Les valeurs propres de A sont donc 0, 3 et 4.

Après tu calcules des vecteurs propres associés à ces valeurs propre pour obtenir la matrice P

Mais pardonne moi si je me trompe, mais j'ai l'impression que souvent tu veux aller trop vite et que tu n'es pas assez soigneux dans tes calculs (ou quand tu recopies les énoncés ici). Être plus attentif te permettrait sans doute de faire moins d'erreurs et d'avancer plus sereinement.

[sylvainc2]

D'ailleurs la matrice a une ligne à zéro, donc det(A)=0 et au moins une des v.p. doit être 0, ca se voit facilement sans calculs et 369 aurait du se rendre compte par lui-même d'une erreur dans son polynôme caractéristique.

[invite3d4a2616]

Bonjour,

pour répondre à la 2eme partie de ta question, une des CNS est :

la dimension des sous espaces propres (sep) est égale à l'ordre de multiplicité des valeurs propres (vp) associées (ainsi si est une vp d'ordre 3 par exemple, il faut que Ker(A-I) soit de dimension 3)

Remarque : il y a d'autres CNS mais celle là est très souvent utilisée et tu sais si A est diagonalisable dès que tu connais les bases de tous les sep.

[A voir en vidéo sur Futura]