Espace vectoriel de matrices inversibles

[invitedb1946d2]

Ma question est la suivante :

Existe t-il un sous espace vectoriel de tel que :

et

Je ne sais pas si il y a une solution, mais si il n'y en a pas il serait bien de démontrer que ce n'est pas possible (j'y travaille et je sollicite donc votre aide)

Il est fort possible que ce soit évident, j'espère que vous pourrez m'éclairer

Bonne soirée
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[invite57a1e779]

Si , le sous-espace vectoriel engendré par les matrices :

[invitedb1946d2]

Bonsoir

Si tu fais l'une moins l'autre, tu tombes sur , qui n'est pas inversible, malheureusement (déterminant nul), donc ton espace vectoriel ne passe pas la condition d'inversibilité par combinaison linéaire, non ?

[invite57a1e779]

Dans , le sous-espace vectoriel engendré par les matrices :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb1946d2]

J'ai bien l'impression que ça marche (sympa l'idée du déterminant non nul de la forme a² + b², bravo !) le tout maintenant serait de généraliser à l'ordre n, peut-être en essayant de construire des matrices de façon similaire ? Il serait sympa d'avoir un algorithme permettant de trouver ces sous espaces, s'ils existent pour n>2.

[invite57a1e779]

Petit truc : soient et deux éléments de , linéairement indépendants, l'application est polynomiale de degré et ne s'annule pas pour .

Si , il existe donc tel que : est une matrice non inversible appartenant à . De même avec tout corps algébriquement clos.

Si avec impair, on a le même phénomène.

Si avec pair, on peut trouver des exemples en considérant des matrices diagonales par blocs, dont les blocs sont de la forme de mon message précédent.

Si , pour tout , il existe des fonctions polynomiales de degré qui n'admettent pas de racines ; pour une telle fonction, il faudrait exhiber des matrices et convenables.

On doit pouvoir trouver des résultats dans la littérature pour les corps classiques, par exemples les corps finis ou les corps p-adiques.

[invitedb1946d2]

Merci beaucoup pour votre réponse détaillée et lucide! Je vais essayer de travailler un peu sur le corps Q pour voir ce que ça donne, bonne soirée !