vecteurs propres d'une matrice

[invite60cfedf1]

Bonjour,

J'ai un exercice où je dois trouver les éléments d'une matrice triangulaire.
Au début j'ai une application qui va de Cn[X] dans Cn[X] et qui a P associe (X-1)P'+aP avec a dans C.
J'ai écrit la matrice dans la base canonique de cette application et j'obtient une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont a,1,2....,n.
J'ai réussi à trouver les valeurs propres de cette matrice avec leur ordre de multiplicité mais je n'arrive pas à trouver les vecteurs propres correspondant ...

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si est une des valeurs propres, les vecteurs propres associés sont les polynômes non nuls qui sont solution de l'équation différentielle : qu'il suffit donc de résoudre.

[invite60cfedf1]

Je dois trouver des polynômes pour l'ensemble des valeurs propres ?
Quelle est l'importance de a dans C ? est-ce qu'il y a une propriété supplémentaire ?

[invite57a1e779]

Je dois trouver des polynômes pour l'ensemble des valeurs propres ?

On étudie un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E : les valeurs propres sont des éléments du corps K, les vecteurs propres des éléments de l'espace vectoriel E.

Dans l'exemple étudié : E=C_n[X], donc les vecteurs propres sont des polynômes ; par ailleurs je pense que E est implicitement (mais est-ce bien certain ?) considéré comme un espace vectoriel sur le corps C, donc les valeurs propres sont des nombres complexes.

Quelle est l'importance de a dans C ? est-ce qu'il y a une propriété supplémentaire ?

Les valeurs propres, et les vecteurs propres vont dépendre de a. Je n'ai pas résolu l'exercice, il est possible qu'il y ait des cas particuliers pour certaines valeurs de a.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60cfedf1]

J'ai utilisé une propriété qui je pense peut s'appliquer, comme quoi les valeurs propres d'une matrice triangulaires sont les coefficients diagonaux. Je trouve donc comme valeurs propres : a ( qui est complexe ), 1 , 2 , ...... , n. Peut-on appliquer cette propriété ?

[invite57a1e779]

Bien évidemment ; ce n'est pas le calcul des valeurs propres qui pose le plus de problème, mais le calcul des vecteurs propres associés.

Au passage : es-tu certain des éléments diagonaux de la matrice ?

[invite60cfedf1]

Merci beaucoup
Je vais essayer de trouver les vecteurs propres maintenant !

[invite60cfedf1]

Je ne comprends pas trop, je me retrouve avec beaucoup d'équations différentielles à résoudre ....

[invite60cfedf1]

Oui il me semble que ce sont les bons éléments diagonaux !

[invite57a1e779]

je me retrouve avec beaucoup d'équations différentielles à résoudre ....

Non, on a une seule équation différentielle à résoudre : en fonction de et . On remplace ensuite par les valeurs propres obtenues à partir de la matrice.

[invite60cfedf1]

Mais P(1) est une constante non ? donc pourquoi l'intègre -t - on à l'équation différentielle ?

[invite57a1e779]

Que vient faire P(1) dans l'histoire ?

Quelle est l'image de X^k par l'application linéaire dont il est question dans ce problème ?

[invite60cfedf1]

L'image de X^k est (X-1)k(X^k-1)+a ?

[invite57a1e779]

j'ai une application qui va de Cn[X] dans Cn[X] et qui a P associe (X-1)P'+aP avec a dans C.

L'image de est : .

[invite60cfedf1]

Et donc je fais comment ?

J'ai résolu l'équation différentielle et je trouve P(X)=(X-1)^(landa-a)... mais ça ne marche pas quand je remplace