complexe

[invitef2d72fcb]

Bonjour !

j'ai un exo sur les complexe et je bloque sur une question :

soit z=e(2iPi/2)

1) calculer 1+z+z²+z^3+z^4 j'ai trouver que sa faisait 0

2) en déduire une équation de degré 2 en z+1/z satisfaite par cos(2pi/5)

3) calculer cos(2Pie/5) cos(Pi/5) cos 2Pie/15)

Je n'arriva pas les deux dernieres, donc si quelq'un pourrait m'aider
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[God's Breath]

soit z=e(2iPi/2)

C'est-à-dire : z=e(2iPi/2)=e(iPi)=-1.

Quelques idées :

[invitef2d72fcb]

Oups je me suis tromper c'est soit z=e(2iPi/5)

[invitef2d72fcb]

J'ai trouver z²(Z²+Z+1)=0 avec Z=(z+1/z)

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Tu disposes donc d'une équation du second degré en , ce qui te permet de calculer .

Reste à trouver un lien entre et .

[invitef2d72fcb]

je trouve Z=2cos(2Pi/5) c'est sa ?

[God's Breath]

Oui, c'est ça.

[invitef2d72fcb]

je trouve 2 solution en résolvant l'équation de degré 2 et je ne sais pas tro comment faire pour en déduire cos(Pi/5) et cos(2Pi/15)

[God's Breath]

J'ai trouver z²(Z²+Z+1)=0 avec Z=(z+1/z)

Il y a une erreur de calcul.

Sinon : ; pour , il faut utiliser la relation entre et , mais cela me surprend.

[invitef2d72fcb]

c'est z²(Z²+Z-1)=0 ?

Donc deux solution réelles, mais laquelle il faut prendre pour trouver les cosinus ?

[God's Breath]

Les solutions de Z²+Z-1=0 sont de signe contraires : il suffit de connaître le signe du cosinus.