Bonjour, je me demande si on peut facilement passer de la définition de la fonction exponentielle (solution de y'=y et y(0) = 1) à l'autre définition (morphisme de R+ vers RX tel que exp(0) = 1) ? Je sais que l'on peut le montrer avec les séries entières, mais n'y a-t-il pas plus "élémentaire" ?
Bonjour,
Si on définit l'exponentielle comme l'unique solution de y'=y avec y(0)=1, on établit facilement que c'est un morphisme du groupe (R,+) dans le groupe (R+*,x) ; cela doit se trouver dans les livres de Terminales S.
Réciproquement, si f est un morphisme du groupe (R,+) dans le groupe (R+*,x), on peut facilement prouver que f(0)=1, mais pour obtenir f'=f, il faut avoir des hypothèses supplémentaires sur f, par exemple la continuité.
