calcul d'une série numérique

[invite0e809682]

Bonsoir,


J'aimerais que vous m'éclairiez sur un calcul , je le suppose très facile mais je n'arrive pas à retrouver le résultat donné par le prof.
C'est une série un avec un=n!*x^n/(2n)!
Le prof montre qu'en faisant un+1/un=n+1*x/(2n+2)(2n+1) or moi je ne trouve pas du tout ce résultat.Pourriez vous me montrer comment le prof arrive à ce résultat? je suppose que je dois me planter avec les factorielles.
Ensuite il montre que ce résultat est équivalent à x/4n d'où lim(un+1/un) quand n tend vers +l'infini est égale à 0.Donc d'après la règle de d'Alembert la série converge.Là aussi pourriez vous m'éclairer s'il vous plait?
Je vous remercie.

Jeanne.
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[invite57a1e779]

Si , alors et :



Il y a des simplifications entre les factorielles puisque : et

et il subsiste :



qui admet une simplification par :



Cette expression permet de prouver directement que :



sans passer par un équivalent, et de conclure en utilisant la règle de d'Alembert.

Avec l'habitude, on ne justifie pas que :



donc que



Mais, si tu tiens à le faire, tu reviens à la définition de l'équivalent en écrivant :



avec :

[invite0e809682]

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de tout rédiger,c'est vraiment très clair.
Quant à moi j'ai bien un problème avec les factorielles car je pensais que (2n+2)!=2(1*2*...*n-1*n*n+1) c'est pour cela que je ne voyais pas d'où venait le(2n+1).Bon quitte à passer pour une idiote tant pis au moins je le saurai une bonne fois pour toute ,pourrais tu me développer (2n+1)! s'il te plait.
Je te remercie de ton aide.

Jeanne

[IOMP]

salut
le développement de (2n+1)!=3.5.7.9.........(2n+1)
IOMP

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Par définition, est le produit des entiers de 1à :

On utilise cette définition et on obtient :

[invite0e809682]

Ok merci beaucoup.

[IOMP]

tu as raison c'est vrai :
(2n+1)!=(2n+1).(2n).(2n-1).(2n-2)................3.2.1
bravo,merci