Organiser ses idées : les structures algébriques (lci, relation binaire ...)

[invited291ccd5]

Bonjour,

voici mon problème, j'étudie les mathématiques et je me perds entre toutes les structures algébriques (relation binaire, loi de composition, fonction, opération binaire), je ne trouve pas de document sur internet les regroupant et les liants toutes entre elles.

D'après ce que j'ai compris, on part d'éléments ("nombres" réels, complexes, vecteurs ...), ils sont regroupés en ensemble et une structure algébrique est une sorte de graphe à plus de 2 dimensions reliant des ensembles : ex : la relation binaire (A R B), comme les fonctions à un paramètre (f(x) = y) est un graphes inclus dans l'ensemble A x B (x appartient à A et y appartient à B) .
Et les opérations binaires et les lois de compositions seraient des graphes inclus dans l'ensemble A x B x C : ex : a * b = c (a appartient à A, b à B et c à C).

Mais je me pose toujours des questions sur les structures algébriques comme :

- quelle est la différence entre une opération binaire et une loi de composition

- est-ce qu'on peut dire qu'une fonction (classique) est un cas particulier de relation binaire : pour f(x) = y, il existe une relation R tel que pour tous x et y, f(x) = y <=> xRy (la relation binaire serait spécifique : elle devra valider la propriété : xRy et xRy' <=> y=y' : une seule image). Cette comparaison pourrait être pratique, par exemple, si la relation associée à une fonction f vérifie xRy et x'Ry <=> x=x' alors la fonction f est injective

- dans l'absolu, peut on "casser" toutes les structures algébriques en relations binaires : ex : a*b = c <=> (a,b)Rc (une relation binaire d'un ensemble à deux dimensions avec un ensemble à une dimension)

- peut-on dire qu'une fonction à 2 paramètres est une loi de composition (et inversement) : f(x,y)=z <=> x*y=z (et aussi relation binaire ? : (x,y)Rz)

- peut-on associer une fonction à un paramètre mais un résultat "à deux dimensions" (je ne suis pas sur des conventions de notation, si fausses, me corriger svp) à deux fonctions "simples" et donc à deux relations binaires "simples" : ex : f(x) = (y,z) <=> g(x) = y et h(x) = z <=> xR1y et xR2z

- existe-t-il d'autres structures algébriques ?

- existe-t-il des structures algébriques sur des structures algébriques : ex : soit l1 et l2 deux lois de composition, il pourrait exister une loi, la loi l3 "sommes pour les loi de composition" : tel que l1 + l2 = l3 <=> pour tout x,y,z : a l3 b = a (l1 + l2) b = (a l1 b) + (a l2 b), on peut sur cette même idée inventer les structures "fonction" ( a f(l1) b = f(a l1 b)), "composition à droite" (l3 est la loi de structure : l4 = (l1) l3 (l2) d'où pour tout x,y,z,j : (x,y) l4 z = j <=> (x l1 y) l2 z = j)

Je pense que je me complique un peu la vie mais j'aime bien comprendre la structure, la base pour comprendre ce qu'il y a dedans.

S'il y a des courageux pour répondre à mes questions, merci d'avance
Ludovic
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[Médiat]

Bonjour,

je ne trouve pas de document sur internet les regroupant

Voir par exemple le premier chapitre là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3692563

D'après ce que j'ai compris, on part d'éléments ("nombres" réels, complexes, vecteurs ...)

Pas forcément des nombres.

une structure algébrique est une sorte de graphe à plus de 2 dimensions reliant des ensembles : ex : la relation binaire (A R B), comme les fonctions à un paramètre (f(x) = y) est un graphes inclus dans l'ensemble A x B (x appartient à A et y appartient à B) .
Et les opérations binaires et les lois de compositions seraient des graphes inclus dans l'ensemble A x B x C : ex : a * b = c (a appartient à A, b à B et c à C).

Le vocabulaire habituel des logiciens est :
Constantes,
Relations,
Fonctions.

Sachant que les 3 sont des relations.
Une relation n-aire est bien un sous-ensemble de

quelle est la différence entre une opération binaire et une loi de composition

Juste du vocabulaire.

est-ce qu'on peut dire qu'une fonction (classique) est un cas particulier de relation binaire : pour f(x) = y, il existe une relation R tel que pour tous x et y, f(x) = y <=> xRy (la relation binaire serait spécifique : elle devra valider la propriété : xRy et xRy' <=> y=y' : une seule image). Cette comparaison pourrait être pratique, par exemple, si la relation associée à une fonction f vérifie xRy et x'Ry <=> x=x' alors la fonction f est injective

Comme dit plus haut, mais je précise, une fonction n-aire est un cas particulier de relation (n+1)-aire. On les appelle d'ailleurs parfois "relations fonctionnelles", plutôt que "fonctions".

dans l'absolu, peut on "casser" toutes les structures algébriques en relations binaires : ex : a*b = c <=> (a,b)Rc (une relation binaire d'un ensemble à deux dimensions avec un ensemble à une dimension)

C'est plus simple de parler de relation n-aire.

peut-on dire qu'une fonction à 2 paramètres est une loi de composition (et inversement) : f(x,y)=z <=> x*y=z (et aussi relation binaire ? : (x,y)Rz)

Une fonction binaire est bien une loi de composition (pas forcément interne) et vice-versa, et est bien une relation ternaire, mais le contraire n'est pas forcément vrai

peut-on associer une fonction à un paramètre mais un résultat "à deux dimensions" (je ne suis pas sur des conventions de notation, si fausses, me corriger svp) à deux fonctions "simples" et donc à deux relations binaires "simples" : ex : f(x) = (y,z) <=> g(x) = y et h(x) = z <=> xR1y et xR2z

Vous parlez d'une fonction de , puis vous appliquez les projections sur chaque composante, donc pas de problème

existe-t-il d'autres structures algébriques ?

Oui, et vous pouvez même en inventer si vous voulez.

existe-t-il des structures algébriques sur des structures algébriques : ex : soit l1 et l2 deux lois de composition, il pourrait exister une loi, la loi l3 "sommes pour les loi de composition" : tel que l1 + l2 = l3 <=> pour tout x,y,z : a l3 b = a (l1 + l2) b = (a l1 b) + (a l2 b)

Un problème dans votre définition : c'est quoi le + dans l'expression (a l1 b) + (a l2 b) ? Sinon sur le problème de l'existence, l1 et l2 sont des ensembles donc on peut leur appliquer les opérations usuelles sur les ensemble (pour que cela marche il faut quelques conditions sur l1 et l2 (mêmes ensembles)).

on peut sur cette même idée inventer les structures "fonction" ( a f(l1) b = f(a l1 b)), "composition à droite" (l3 est la loi de structure : l4 = (l1) l3 (l2) d'où pour tout x,y,z,j : (x,y) l4 z = j <=> (x l1 y) l2 z = j)

D'une façon plus générale si vous avez une relation n-aire, notée sur et des fonctions , alors vous pouvez définir une relation, notée sur par :



Bien sur il existe des définitions similaires pour les fonctions et les constantes (je vous laisse deviner pourquoi les définitions ne sont pas exactement les mêmes, alors que j'ai écrit que fonctions et constantes étaient des cas particulier de relations ).

Pour peu que soit bijective, on appelle cela un isomorphisme.

[invited291ccd5]

Merci beaucoup,
j'ai tout compris

Merci, Ludo