Exercice sur les fonctions numériques

[invite032e3a57]

Bonjour à tous,

Je suis confronté à un problème assez embêtant, je ne comprend pas comment démontrer que la fonction est injective (bien que je pense avoir saisi la notion "d'injectivité").

Voici l'exercice auquel je suis confronté :
Les deux fonctions numériques suivantes sont données de R vers R :
f(x) = (2x-1)/(x+2) g(x)= x + 2V(x)-1 le V symbolisant la racine et ce qui est entre () l'expression sous la racine.

Pour chacune d'elles :
Présenter le domaine de définition (compris)
Présenter le domaine des images (pas compris)
Montrer qu'elle est injective (pas compris)

Je suis donc confronté à ce problème qui me handicap pas mal, notamment dans le cursus dans lequel je me suis engagé.
Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment répondre à ces questions sans forcement donner les réponses mais juste essayer de me faire saisir le truc.

Cordialement.
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[invitec336fcef]

bonjour,

le domaine de définition est l'ensemble des antécédents, ensemble inclus dans , qui ont une image (et nécessairement une seule, puisque les fonctions sont des applications).

Le domaine image est l'ensemble des y, inclus dans , pour lesquels il existe un x appartenant à l'ensemble de définition tel que y = f(x).

Vous expliquez que les fonctions numériques sont définies de dans . Bien entendu, c'est une erreur ! prenez par exemple la fonction f, que se passe-t-il en x = -2 ? De même, la fonction racine carrée n'étant définie que sur l'ensemble des réels positifs, que dire de la fonction g ?

Pour les domaines images, interrogez vous quels réels on peut obtenir en faisant l'image par f de l'ensemble de définition ? Par exemple, mis à part en x = -2, peut-on faire l'image de toutes les valeurs x de l'ensemble de définition ? si oui, quelles sont-elles, ces images ?

L'injectivité est une propriété de la fonction. Une image peut avoir un antécédent au plus (soit donc 1 ou 0 antécédent). Un exemple : on peut définir la fonction


Si la fonction avait été définie de , f aurait été une bijection, mais en considérant l'ensemble d'arrivée comme , elle devient injective uniquement, puisque l'ensemble des images ne possède pas d'antécédent.

Une propriété de l'injectivité est de dire que si deux images sont égales, f(x) = f(x') alors nécessairement x = x'.

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