convergence de polynômes

[invite46a05d69]

Bonjour, j'ai un problème sur la 2ème partie d'un exercice, je vois pas comment procéder... :



soit d un entier naturel, soint x1, x2..., xn, d+1 réels distincts. Soit (Pn) une suite de polynomes de degré borné par d telle que pour tout i entier dans [1, d+1], la suite (Pn(xi)) converge.

a) Soit I un intervalle compact contenant x1, x2, ..., xd+1 .
Montrer que la suite (Pn) converge uniformément sur I vers un polynome P de degré inf ou = à d.

b) la suite des polynomes dérivés (Pn') est elle automatiquement uniformément cv sur I ?




Pour la première question, j'ai procédé grace à l'équivalence des normes dans un espace complet.
j'ai pu ainsi montré que (Pn) CVU vers P dans Kd[X].

J'ai l'impression que c'est pourtant simple pour la b), mais je n'y arrive pas.
Si quelqu'un pouvait m'aider svp! merci ^^
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[Tiky]

Salut,

En L3 MFA à Orsay je présume ?
Edit : ton profile le confirme, je vais essayer de deviner qui tu es.

[invite46a05d69]

ah mince démasqué! xD
Et tu pourrai pas m'aider toi hein? =p Mais je me doute bien que si t'es là c'est que tu galère aussi !
Moi non plus je vois pas qui tu peux être, "tiky" je penserai à Nacho ( je sais pas pourquoi lol...)

Edit : j'espère que je parle pas au prof, sinon je vais avoir des problèmes ^^

[inviteea028771]

Attention, je pense que c'est un lapsus, mais dans le doute je fais la remarque :

"grace à l'équivalence des normes dans un espace complet"

Ceci est bêtise, et tu voulais sans doute dire "dans un espace de dimension finie"


Sinon, ne peux tu pas facilement majorer la norme (infinie) de P' par rapport à la norme de P et l'entier d?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Non je ne suis pas le prof. J'ai fait l'exercice hier mais en utilisant uniquement que des notions d'algèbre. J'en ai d'ailleurs discuté avec le prof de théorie des Graphes car l'exercice est bancale.

Pour ma part j'ai posé : . Je peux le faire puisque les degrés des polynômes sont bornés par .
Ensuite j'ai utilisé une matrice de Vandermonde pour montrer que chaque suite s'exprime comme combinaison linéaire des suites qui sont convergentes. On en déduit que les suites convergent (je pose la limite) et la suite est facile. Pour la seconde question, on montre que la suite des polynômes converge vers uniformément (avec P la limite de ). Je n'ai pas trop le temps de détailler ma solution.

[invite46a05d69]

oui tryss dsl, c'est bien dans un espace de dimension finie que je voulais dire.
Effectivement c'est ce que je voulais faire au début mais je n'étais pas sur de mon coup ! Je vais continuer dans cette voie alors, merci !

Tiky -> Très originale comme solution, c'est vrai que ça revient au même finalement.
pour la seconde question, je vais faire ce que m'a dis tryss

merci à vous deux !

[Tiky]

De rien à demain.