Série numériques

[inviteec33ac08]

Bonjour, voila je ne sais pas trop comment partir pour démontrer ceci:
Si il existe k<1/pour tout entier n, Un>0 et (U_n+1)/(U_n) <=k alors la série de terme général Un converge et pour tout entier n , 0<= Rn <= k*U_n/(1-k)

Voila j'ai pensé à la règle de d'Alembert mais on ne sait pas si le quotient U_n+1/U_n converge

Merci de votre aide
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[inviteea028771]

Ca se fait assez directement :



On peut ensuite montrer par récurrence que

D'où

On a alors la convergence et on trouve facilement la majoration de Rn